函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1課時.ppt

1.3.2 函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù),f (x)0,f (x)0,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在 這個區(qū)間內(nèi)f (x)0 ,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f (x)0那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).,一、知識回顧:,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟,第1步：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；,第2步：求導(dǎo)函數(shù)的零點(如果導(dǎo)函數(shù)在定義域上非正或非負,直接判斷增減)；,第3步：用導(dǎo)函數(shù)的零點將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間(導(dǎo)函數(shù)不存在的點也要作為劃分區(qū)間的端點考察)；,第4步：通過導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū) 間的符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間.,特別注意:原函數(shù)的定義域,關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題,思考1： 觀察下圖，當t=t0時,運動員距水面的高度最大,那么函數(shù) h（t）在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？,關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題,問題2：我們知道正弦函數(shù)的五點作圖法是利用函數(shù)的五個關(guān)鍵點作出圖形的,利用圖象的關(guān)鍵點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,你能作出函數(shù) 的圖象嗎?,上述作圖中，圖象的關(guān)鍵點十分重要，這些關(guān)鍵點與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何聯(lián)系？我們將進行研究,二、新課函數(shù)的極值:,如圖:,探索思考：,y=f(x)在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？,如圖:,探索思考：,函數(shù)在 X2處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小， f (X2)=0，而且在 X=X2的左側(cè)f (x)0.,我們把點X1叫做y=f(x)的極大值點,f (X1)叫函數(shù)y=f(x)的極大值;點 X2叫做y=f(x)的極小值點,f (X2)叫函數(shù)y=f(x)的極小值;,以X1 ，X2兩點為例：函數(shù)在X1 處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大， f(X1)=0,而且在 X=X1的左側(cè)f (x)0，右側(cè)f (x)0;,如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于f(x0) .因此, x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即 ; x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即,同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即 ;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即 .,極值點與附近函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系：,從而我們得出結(jié)論:對于可導(dǎo)函數(shù),若x0滿足 f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值,并且:,從曲線的切線角度看,可導(dǎo)函數(shù)的圖象在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負;曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負,右側(cè)為正.,(1)如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左正右負”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;,(2)如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左負右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,三、例題選講:,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,當x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當x=2時有極小值,并且,y極小值=- 4/3.,練習1,練習2,四.探索思考:,導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎?,可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點,反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點.例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.,因此可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號.,對一般函數(shù),導(dǎo)數(shù)為零的是該點為極值點的既不必要也不充分條件.,一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:,(1):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 右側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極小值.,解方程f/(x)=0.當f/(x)=0時:,注意：極值可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點取到.如：,故當x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.（注：利用奇函數(shù)求更易）,解:函數(shù)的定義域為,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,當x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:,思考：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？,補充例題2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10,求 a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當a=4,b=-11時,-3/111時, ,此時x=1是極 值點.,從而所求的解為a=4,b=-11.,練習3:求函數(shù) 的極值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,當x變化時, ,y的變化情況如下表:,因此,當x=-1時有極大值,并且,y極大值=3; 而,當x=1時有極小值,并且,y極小值=- 3.,練習2,求下列函數(shù)的極值點：,補充例4:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值 為-1,求a、b的值. (2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線 斜率為k,試討論k-1成立的充要條件 .,解:(1)由 得x=0或x=2a/3. 故4a/3=4, a=6.,由于當x0時, 故當x=0時, f(x)達到極小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等價于當 時,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,當a1時,g(x)0對一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要條件.,解法2:分離變量也可通過函數(shù)值域求