線性代數(shù)1.6行列式按行(列)展開.ppt

1.6 行列式按行(列)展開,一、余子式與代數(shù)余子式,引例, 考察三階行列式,在 n 階行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素劃去后, 留下來(lái)的 n1 階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij 的余子式, 記作 Mij . 即,例如,記 Aij = (1)i+j Mij, 稱 Aij 為元素 aij 的代數(shù)余子式.,引理: 如果一個(gè)階行列式D的第 i 行元素除 aij 外都為零, 那么, 行列式 D 等于 aij 與它的代數(shù)余子式 Aij的乘積, 即 D = aij Aij .,行列式的每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)余子式和唯一的一個(gè)代數(shù)余子式.,= aij Aij .,證: 當(dāng) aij 位于第一行第一列時(shí),又由于 A11=(1)1+1M11=M11,再證一般情形,此時(shí),由上節(jié)例3, 即教材中的例10得: D = a11M11 .,從而 D = a11A11, 即結(jié)論成立.,把D的第 i 行依次與第 i 1行,第 i 2行, , 第1行交換, 得,把D的第 j 列依次與第 j 1列, 第 j 2列, , 第1列交換, 得,=(1)i+j aij M11,顯然, M11恰好是aij在D中的余子式Mij, 即M11=Mij,因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理結(jié)論成立.,定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n); D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).,證:,二、行列式按行(列)展開法則,D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).,由引理得:,引理的結(jié)論常用如下表達(dá)式:,( i =1, 2, , n),解: 按第一行展開, 得,例1: 計(jì)算行列式,如果按第二行展開, 得,例2: 計(jì)算行列式,解: D,例3: 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,證: 用數(shù)學(xué)歸納法,所以, 當(dāng) n=2 時(shí), (1)式成立.,假設(shè)對(duì) n-1 階范德蒙德行列式, (1)式成立.,對(duì) n 階范德蒙德行列式, 作如下變換, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得,按第一列展開, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就,有:,n1階范德蒙德行列式,則根據(jù)歸納假設(shè)得證:,例4: 計(jì)算行列式,解:,推論: 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,證: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展開, 得,把 ajk 換成 aik (k=1, 2, , n ), 當(dāng) i j 時(shí), 可得,第 j 行,第 i 行,同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j,所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),其中,1. 行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.,三、小結(jié),2.,思考題,求第一行各元素的代數(shù)