傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析(1).ppt

第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,4.1 信號分解為正交函數(shù) 一、正交函數(shù)集 二、信號分解為正交函數(shù) 4.2 周期信號的傅里葉級數(shù) 一、周期信號的分解 二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 4.3 周期信號的頻譜 一、周期信號的頻譜 二、周期矩形脈沖的頻譜 三、周期信號的功率 4.4 非周期信號的頻譜 一、傅里葉變換 二、奇異函數(shù)的傅里葉變換,點擊目錄 ，進入相關(guān)章節(jié),4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 一、線性 二、奇偶性 三、對稱性 四、尺度變換 五、時移特性 六、頻移特性 七、卷積定理 八、時域微分和積分 九、頻域微分和積分 十、相關(guān)定理 4.6 能量譜和功率譜 一、能量譜 二、功率譜,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,4.7 周期信號的傅里葉變換 一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換 二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換 三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換 4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析 一、頻率響應(yīng) 二、無失真?zhèn)鬏?三、理想低通濾波器的響應(yīng) 4.9 取樣定理 一、信號的取樣 二、時域取樣定理 三、頻域取樣定理,點擊目錄 ，進入相關(guān)章節(jié),4.10 序列的傅里葉分析 一、周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS) 二、非周期序列的離散時間傅里葉 變換(DTFT) 4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì) 一、離散傅里葉變換(DFT) 二、離散傅里葉變換的性質(zhì),第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析,法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于 歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。 1822年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19世紀數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方程符號法則的證法和實根個數(shù)的判別法等。,傅里葉簡介,4.1 信號分解為正交函數(shù),4.1 信號分解為正交函數(shù),一、矢量正交與正交分解,時域分析的要點是，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號e jt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為0。即,4.1 信號分解為正交函數(shù),由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為正交矢量集。,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個正交矢量集。,例如對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間：在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。,4.1 信號分解為正交函數(shù),4.1 信號分解為正交函數(shù),二、信號正交與正交函數(shù)集,1. 定義：,定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足,(兩函數(shù)的內(nèi)積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。,2. 正交函數(shù)集：,若n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。,4.1 信號分解為正交函數(shù),3. 完備正交函數(shù)集：,如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在任何函數(shù) (t)(0）滿足,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。,( i =1，2，n),4.1 信號分解為正交函數(shù),三、信號的正交分解,設(shè)有n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為：,4.1 信號分解為正交函數(shù),為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時），有,展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為：,即：,所以系數(shù),4.1 信號分解為正交函數(shù),代入，得最小均方誤差,在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有,上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程（公式），表明：在區(qū)間(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。,函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和,4.2 傅里葉級數(shù),4.2 周期信號的傅里葉級數(shù),一、傅里葉級數(shù)的三角形式,設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級數(shù)。,系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù)。,可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。,4.2 傅里葉級數(shù),式中，A0 = a0,上式表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為,4.2 傅里葉級數(shù),例1：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。,解：,考慮到=2/T，可得：,4.2 傅里葉級數(shù),信號的傅里葉級數(shù)展開式為：,4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),4.2 傅里葉級數(shù),二、波形的對稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo),bn =0，展開為余弦級數(shù)。,2 .f(t)為奇函數(shù)對稱于原點,an =0，展開為正弦級數(shù)。,實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,4.2 傅里葉級數(shù),3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時，其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2),此時，其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0,4.2 傅里葉級數(shù),三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式,三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2,上式中第三項的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫為,4.2 傅里葉級數(shù),令A(yù)0=A0 e j0 e j0t ，0=0,所以,令復(fù)數(shù),稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。,4.2 傅里葉級數(shù),n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 Fn 是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0 = A0/2為直流分量。,4.2 傅里葉級數(shù),例2：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。,解：,4.2 傅里葉級數(shù),指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：,4.3 周期信號的頻譜,4.3 周期信號的頻譜及特點,一、信號頻譜的概念,從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn 。,4.3 周期信號的頻譜,例：周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。,解 首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達式，即,顯然1是該信號的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12 根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P=,4.3 周期信號的頻譜,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：,4.3 周期信號的頻譜,二、周期信號頻譜的特點,舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）,4.3 周期信號的頻譜, n = 0 ,1，2，,Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。,零點為,特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。,4.3 周期信號的頻譜,譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：,(a) T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。,4.2 傅里葉級數(shù),三、周期信號的功率Parseval等式,含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功 率之和。,周期信號一般是功率信號，其平均功率為,表明：對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在 頻域中求得的信號功率相等。,4.4 傅里葉變換,4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換,一、傅里葉變換,非周期信號f(t)可看成是周期T時的周期信號。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令,(單位頻率上的頻譜）,稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。,4.4 傅里葉變換,考慮到：T，無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而,同時， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式“+”,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。,根據(jù)傅里葉級數(shù),4.4 傅里葉變換,也可簡記為,F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j),F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說明： (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù) f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分,4.4 傅里葉變換,二、常用函數(shù)的傅里葉變換,單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 0,2. 雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0,4.4 傅里葉變換,3. 門函數(shù)(矩形脈沖),4. 沖激函數(shù)(t)、(t),4.4 傅里葉變換,5. 常數(shù)1,有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,4.4 傅里葉變換,構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一種求法： (t)1代入反變換定義式，有,將t，t-,再根據(jù)傅里葉變換定義式，得,6. 符號函數(shù),4.4 傅里葉變換,7. 階躍函數(shù)(t),構(gòu)造,4.4 傅里葉變換,歸納記憶：,1. F 變換對,2. 常用函數(shù) F 變換對：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t| (t),1,1,2(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),一、線性(Linear Property),Proof:,then,If,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F( j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F( j) = 2() - 2Sa(),-,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),二、奇偶性(Parity),If f(t) is real, then,So that,(1) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),三、對稱性(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F( jt) 2f () end,F( jt ) 2f (),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a t ) ,That is ,f (a t ) ,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),五、時移性質(zhì)(Time shifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example F(j) = ?,f1(t) = g6(t-5) , f2(t) = g2(t-5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,Ans: f (t) = f1(t) + f2(t),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Given that f (t)F( j), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,f(t) = cos0t F(j) = ?,Ans:,F(j) = (-0)+ (+0),For example 3,Given that f(t) F(j),The modulated signal f(t) cos0t ?,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),七、卷積定理(Convolution Property),1、Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),2、Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Proof:,Using time shifting,So that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),八、時域的微分和積分 (Differentiation and Integration in time domain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 2,Given that f (t) F1(j) Proof,f (t) F1(j) + f(-)+ f()(),Proof,So,Summary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),4.5 傅里葉變換的性質(zhì),九、頻域的微分和積分 (Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)( j),where,For example 1,Determine f(t) = t(t) F (j)=?,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,4.5 傅里葉變換的性質(zhì),十、相關(guān)定理(Correlation Theorem),If,then,Proof:,兩個信號相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中一個信號的傅里葉變換與另一信號傅里葉變換的共軛之乘積，這就是相關(guān)定理。對自相關(guān)函數(shù)：,4.6 能量譜和功率譜,4.6 能量譜和功率譜,一、能量譜,1. 信號能量的定義：時間（-, ）區(qū)間上信號的能量。,信號(電壓或電流)f(t)在1電阻上的瞬時功率為|f(t)|2, 在區(qū)間（-T, T）的能量為,如果信號能量有限，即0E，信號稱為能量有限信號，簡稱能量信號。例如門函數(shù)，三角形脈沖，單邊或雙邊指數(shù)衰減信號等。,證明:,4.6 能量譜和功率譜,2. 帕斯瓦爾方程（能量方程）：,4.6 能量譜和功率譜,在頻帶df內(nèi)信號的能量為E () df，因而信號在整個頻率區(qū)間（-, ）的總能量為：,上式與帕斯瓦爾公式進行比較可知，能量密度譜E () 為：,3. 能量密度譜E ()： (Energy-density Spectrum),為了表征能量在頻域中的分布情況，可以借助于密度的概念，定義一個能量密度函數(shù)，簡稱為能量頻譜或能量譜。 能量頻譜E ()定義為單位頻率的信號能量。,解:,4.6 能量譜和功率譜,由相關(guān)定理：,信號的能量譜E () 與自相關(guān)函數(shù)R()是一對傅里葉變換,信號的能量譜E () 是的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無關(guān)。單位：Js。,4.6 能量譜和功率譜,二、功率譜,由信號能量和功率的定義可知，若信號能量E有限，則P=0；若信號功率P有限，則E=。,1. 信號功率：定義為時間（-, ）區(qū)間上信號f(t)的 平均功率，用P表示。,如果信號功率有限，即0P，信號稱為功率有限信號，簡稱功率信號。如階躍信號，周期信號等。,如果f(t)為實函數(shù)，則,4.6 能量譜和功率譜,功率有限信號的能量趨于無窮大，即,從f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一個截尾函數(shù)fT(t)，它可以表示為：,如果T是有限值，則fT(t)的能量也是有限的。令,fT(t)的能量ET可表示為：,由于,4.6 能量譜和功率譜,f(t)的平均功率為：,當(dāng)T增加時，fT(t)的能量增加，|FT(j) |2也增加。當(dāng)T時， fT(t) f(t) ，此時|FT(j) |2 /T可能趨于一極限。,比較得：,2. 功率密度譜：類似于能量密度譜，定義功率密度譜 函數(shù)P () 為單位頻率的信號功率。從而平均功率：,4.6 能量譜和功率譜,信號的功率譜P () 是的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無關(guān)。單位：Ws。,自相關(guān)函數(shù)：,3. 功率密度譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：,若f1(t)和f2(t)是功率有限信號，此時相關(guān)函數(shù)的定義為：,4.6 能量譜和功率譜,兩邊取傅里葉變換，得：,比較前面推導(dǎo)：,功率有限信號的功率譜函數(shù)P () 與自相關(guān)函數(shù)R()是一對傅里葉變換。,4.7 周期信號的傅里葉變換,4.7 周期信號傅里葉變換,一、正、余弦的傅里葉變換,12() 由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)= (e j 0 t + e j 0 t)/2 (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t + e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ),4.7 周期信號傅里葉變換,二、一般周期信號的傅里葉變換,例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=,解：,(1),4.7 周期信號傅里葉變換,例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。,解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j) =,本題 f0(t) = g2(t),(2),(2)式與上頁(1)式比較，得,這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。,4.7 復(fù)習(xí)：傅里葉變換,歸納記憶：,1. F 變換對,2. 常用函數(shù) F 變換對：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t| (t),1,1,2(),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。,對周期信號：,對非周期信號：,其基本信號為 ej t,一、基本信號ej t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而t= 總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率的基本信號ej t時，其響應(yīng),而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：,y(t) = H(j ) ej t,H(j )反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* ej t,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng),ej t,H(j ) ej t,F(j ) d ej t,F(j )H(j ) d ej t,齊次性,可加性,f(t),y(t) =F 1F(j )H(j ) ,Y(j ) = F(j )H(j ),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即,H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù)。,頻域分析法步驟：,傅里葉變換法,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,對周期信號還可用傅里葉級數(shù)分析法：,周期信號,若,則可推導(dǎo)出,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j)e j(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,解法二：用三角傅里葉級數(shù)分析法求解,f(t)的基波角頻率 =5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,三、頻率響應(yīng)H(j)的求法,1. H(j) = F h(t),2. H(j) = Y(j)/F(j) 由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。 由電路直接求出。,例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),例2：如圖電路，R=1，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。,解：畫電路頻域模型,h(t)= e-t (t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波,系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。,1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢ο到y(tǒng)h(t)，H(j)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td,上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。,(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,2、理想低通濾波器,具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：,(1)沖激響應(yīng),h(t)= -1g 2 c()e-jtd =,可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng) (why?)。,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,(2)階躍響應(yīng),g(t)=h(t)*(t)=,經(jīng)推導(dǎo)，可得,稱為正弦積分,特點：有明顯失真，只要c，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。,gmax=0.5+Si()/=1.0895,4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析,3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件,就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t0時必須為0，即 h(t)=0 ,t0 即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足,并且,稱為佩利-維納準則。（必要條件） 從該準則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。,4.9 取樣定理,4.9 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。,一、信號的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為取樣信號。,4.9 取樣定理,如圖一連續(xù)信號f(t),用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）進行取樣，取樣間隔為TS，fS =1/TS稱為取樣頻率。,得取樣信號 fS(t) = f(t)s(t),取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù)為 FS( j)=(1/2)F( j)*S( j),4.9 取樣定理,沖激取樣,若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱為沖激取樣。,如果f(t) 是帶限信號 即f(t)的頻譜只在區(qū)間（- m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0 。,設(shè)f(t)F(j)，取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù),FS(j)= (1/2)F(j)* S s(),S =2/TS,s(t)=Ts(t) S s(),4.9 取樣定理,=,*,=,上面在畫取樣信號fS(t)的頻譜時，設(shè)定S 2m ,這時其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無法恢復(fù)原信號。,4.9 取樣定理,二、時域取樣定理,當(dāng)S 2m 時，將取樣信號通過下面的低通濾波器,其截止角頻率C取m C S -m 。即可恢復(fù)原信號。,由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t),H(j) h(t) =,為方便，選C = 0.5S ,則TsC /=1,4.9 取樣定理,所以,根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t) ，有,只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號f(t)。,時域取樣定理： 一個頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣值點f(nTs)確定。,注意：為恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件：（1）f(t)必須是帶限信號；（2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率，把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,頻域取樣定理： 根據(jù)時域與頻域的對偶性，可推出頻域取樣定理。 一個在時域區(qū)間（-tm,tm)以外為0的時限信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fsfs1/(2tm)上的樣值點F( jns)確定。,4.9 取樣定理,例1 有限頻帶信號f1(t)的最高頻率為m1( fm1 ) ，f2(t)的最高頻率為m2 ( fm2 ) ，對下列信號進行時域抽樣，試求使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特頻率fs與奈奎斯特間隔Ts。,4.9 取樣定理,4.9 取樣定理,解：,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,4.9 取樣定理,所以，奈奎斯特頻率為：,奈奎斯特周期為：,例2,4.9 取樣定理,解：,4.9 取樣定理,由對稱性可知：,所以：,此外：,4.9 取樣定理,所以：,4.10 序列的傅里葉分析,4.10 序列的傅里葉分析,一、周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）,具有周期性的離散時間信號可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有,對于連續(xù)時間信號，周期信號fT(t) 可以分解為一系列角頻率為n(n=1, 1, 2, ) 的虛指數(shù)e jnt (其中=2/T為基波角頻率)之和。 類似地，周期為N的序列fN(k)也可展開為許多虛指數(shù)e jnk=e jn（2/N）k （其中=2/N 為基波數(shù)字角頻率）之和。,4.10 序列的傅里葉分析,需要注意的是，這些虛指數(shù)序列滿足,即它們也是周期為N的周期序列。,因此，周期序列fN(k)的傅里葉級數(shù)展開式僅為有限項（N項），若取其第一個周期n=0,1,2,N-1，則fN(k) 的展開式可寫為,4.10 序列的傅里葉分析,稱為離散傅里葉系數(shù)。,稱為周期序列的離散傅里葉級數(shù)。,為書寫方便，令,并用DFS表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS表示離散傅里葉級數(shù)展開式（逆變換），則有,4.10 序列的傅里葉分析,例1：求圖示周期脈沖序列的離散傅里葉級數(shù)展開式。,解：,取求和范圍為0,3,4.10 序列的傅里葉分析,所以，離散傅里葉級數(shù)展開式為,4.10 序列的傅里葉分析,二、非周期序列的離散時間傅里葉變換 (DTFT),與連續(xù)時間信號類似，周期序列fN(k)在周期N時，將變成非周期序列f(k),同時FN(n)的譜線間隔(2 /N)趨于無窮小，成為連續(xù)譜。,當(dāng)N時，n n( 2/N)趨于連續(xù)變量(數(shù)字角頻率,單位為rad)。定義非周期序列f(k)的離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT) 為:,可見，非周期序列的離散時間傅里葉變換F(e j)是的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2。通常它是復(fù)函數(shù)，可表示為：,4.10 序列的傅里葉分析,定義非周期序列f(k)的離散時間傅里葉逆變換為: (Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT),通常用以下符號表示對序列f(k)求離散時間傅里葉正變換和逆變換:,離散時間傅里葉變換存在的充分條件是f(k)要滿足絕對可和，即,4.10 序列的傅里葉分析,例2：求下列序列的離散時間傅里葉變換。,解：,4.10 序列的傅里葉分析,幅頻特性和相頻特性分別為,4.10 序列的傅里葉分析,f2(k)的頻率特性為:,4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),離散信號分析和處理的主要手段是利用計算機去實現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時間傅里葉變換(DTFT)是連續(xù)函數(shù)，而其逆運算為積分運算，因此，無法直接用計算機實現(xiàn)。顯然，要在數(shù)字計算機上實現(xiàn)這些變換，必須把連續(xù)函數(shù)改換為離散數(shù)據(jù)，同時，把求和范圍從無限寬收縮到一個有限區(qū)間。 離散傅里葉級數(shù)變換(DFS)無論在時域還是在頻域，只對N項求和，故可以用數(shù)字計算機進行計算?？梢越柚x散傅里葉級數(shù)的概念，把有限長序列作為周期性離散信號的一個周期來處理，從而定義了離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)。,4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì),一、離散傅里葉變換（DFT）,設(shè)長度為N的有限長序列f(k)的區(qū)間為0,N-1，其余各處皆為零。即,為了引用周期序列的有關(guān)概念，我們將有限長序列f(k)延拓乘周期為N的周期序列fN(k)，即,或者把有限長序