偏微分方程定解問題.pptVIP

1,1.1 三個典型方程的導出,1.2 定解問題及其適定性,1.3 通解法和行波法,1.4 二階線性偏微分方程的分類和標準型,第一章 偏微分方程定解問題,2,(1) 偏微分方程,有一個未知多元函數(shù),是未知變量；,如果能夠得到如下關系式：,為,的各階偏導數(shù)。,上述關系式就稱為偏微分方程。,為書寫方便，通常記,1.1 三個典型方程的導出,3,(2)方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階。,(3)線性方程 一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程,(4)自由項 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的 項稱為自由項,4,場位方程（拉普拉斯方程）：,熱傳導方程：,波動方程：,琴弦的振動；桿、膜、液體、氣體等的振動；電磁場的振蕩,熱傳導中的溫度分布；流體的擴散、粘性液體的流動,空間的靜電場分布；靜磁場分布；穩(wěn)定溫度場分布,5,導出,“翻譯”,導出步驟: i)確定物理量u； ii)從所研究的系統(tǒng)中劃出一個小部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這個小部分的相互作用； iii)這種相互作用在一個短時間段如何影響物理量u，把這種影響用算式表達出來。,如何導出？,6,一、弦的橫振動,一根弦在內部張力作用之下處于平衡位置，某個微小擾動引起部分質點的位移，內部張力又使鄰近的部分隨之產(chǎn)生位移。,著名二胡演奏家宋飛,演奏弦樂器(如提琴、二胡)的人用弓在弦上來回拉動。弓所接觸的只是弦的很小一段，似乎應該只引起這個小段的振動。實際上，振動總是傳播到整根弦，弦的各處都振動起來。人們力求用數(shù)學方法研究這種弦振動傳播現(xiàn)象。,一、波動方程的推導,7,理想化假設：,(1)均勻常數(shù)； (2)柔軟任意彎曲，沒有抵抗彎曲的力，張力沿弦 的切線方向； (3)彈性抵抗拉伸的張力滿足胡克定律； (4) 細截面情況不考慮?？煽醋鳠o粗細的線； (5)微小橫振動絕對位移和相對位移都很小。,建立坐標系：確立未知函數(shù),8,牛頓運動定律： F=ma,微元分析法：取微元x,x+dx， t時刻,(1),(2),T1,T2,u方向：,x方向：,9,張力沿切線：,由(1)得:,（T 與 x 無關）,胡克定律,每個時刻都有：ds dx，長度ds不隨時間而變化：,T= T1=常數(shù),代入(2),-理想弦的振動方程（第一個偏微分方程）,其中：,10,一塊均勻的緊張的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，其運動規(guī)律滿足,二維波動方程或膜振動方程（鼓）,11,三維波動方程或聲波方程,波動方程,彈性介質的振動方程統(tǒng)稱為波動方程。均勻弦的微小橫振動和均勻桿的縱振動滿足一維波動方程，均勻薄膜的微小振動方程是二維波動方程，彈性介質中聲波的傳播是三維波動方程。,12,3、考慮其他因素,T的近似問題：微小、橫振動(絕對位移不遠小于1)。T為常數(shù)的假設不成立。如：習題5 弦在粘稠的液體中振動，阻尼必須考慮，在建立方程時需加上阻尼項即 。,4、任何數(shù)學模型都是相對的，超出理想化假設范圍，則需建立新的模型。,13,P45 習題6 均勻桿的縱振動 (1).縱振動與縱波的機理一張力和桿(介質) (2).均勻桿的縱振動同橫向振動，除桿的振動位移在縱向外，仍然采用微元法.,建立坐標系：以桿的中軸線為x軸。,微元分析法：取微元x,x+dx，即桿上B段。,牛頓運動定律： t時刻 F=ma,均勻桿形變產(chǎn)生的應力與應變 滿足胡克定律。,14,相對伸長量：,原長：dx,t時刻長度(現(xiàn)長)：,左端位移,右端位移,相對伸長量,其中：,B小段分別受鄰段A和C的拉力F1和 F2。,15,二、熱傳導方程的推導,起源：19世紀，傅里葉研究工業(yè)中金屬加熱問題 時提出。,物理模型：空間某個介質或靜止流體內溫度分布不均 勻，引起熱量流動，考慮熱運動如何進行。,16,理想化假設：,介質均勻,常數(shù),各向同性,c,k均為常數(shù),未知函數(shù)：,溫度,取定坐標系,微元分析法,微元 dv=dxdydz,t,t+dt時間段,物理定律：,1、能量守恒,2、傅里葉熱傳導定律,熱傳導系數(shù),熱流密度矢量,17,傅立葉熱傳導定律： 在物體內部，在垂直于導熱方向上，兩個相距為h，面積為S，溫度分別為T1、T2的平行平面，在t秒內，從一個平面?zhèn)鞯搅硪粋€平面的熱量Q，滿足下式：,式中Q/t定義為傳熱速率，定義為該物質的導熱系數(shù)，亦稱熱導率，“-”號表示熱量向低溫的方向傳遞。,18,翻譯：對微元應用物理定律,dt時間內溫度升高所需熱量,19,考慮內部有熱源放出熱量,熱源密度,帶入方程,20,(1),(2),或寫為：,或寫為：,21,22,擴散方程,又稱為擴散方程,23,說明：,1、推導過程回顧,2、考慮其他因素,c, k的近似問題：各向同性。 一階偏導數(shù)也可能存在，變系數(shù),3、比較,考慮穩(wěn)恒情況，,泊松(場位)方程,若f(x,y,z)=0,Laplace方程,發(fā)展（演化）方程,24,25,26,27,三、靜電場的場位方程,物理模型：真空中的電荷分布(x,y,z)， 求：電場E(x,y,z),整體考慮：,取定坐標系,任取區(qū)域v,物理定律：,1、高斯定律：通過任意封閉曲面的電通量等于該曲面包圍體積內的電荷總量除以介電常數(shù)。,高斯公式,(1),散度積分,28,2、法拉第定律：靜電場繞任意閉路的電動勢為0,無旋場一定有勢函數(shù),令：,斯托克斯公式,(2),把(2)帶入(1),上式為泊松方程（場位方程）,29,常系數(shù)的線性偏微分方程,KdV方程,變系數(shù)的線性偏微分方程,非線性偏微分方程,薛定諤波動方程,上面三個方程是物理學中最常遇到的偏微分方程，每一個都描寫了多種具體的物理過程，盡管過程的物理背景不同，但其數(shù)學表達式完全一致，這三個方程是歷史上最早系統(tǒng)研究的方程，也是本課程的重點。,30,一、通解和特解,1.2 定解問題及其適定性,古典解：如果能找到函數(shù) u ，使上面方程在區(qū)域V中成為恒 (廣義解) 等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。(其中 必須滿足函數(shù)，在V內u 的各階偏導數(shù)也連續(xù)。),例1：,31,例2：,32,通解：m階偏微分方程含有m個任意函數(shù)的解。,特解：不含任意函數(shù)或任意常數(shù)的解。,通過定解條件確定了解中的任意函數(shù)后得到的解。,解中含有相互獨立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意函數(shù)的解。,對于一般偏微分方程，找通解非常困難。根據(jù)方程的物理背景或數(shù)學特點，找出某些特定形式的特解常常有意義。,33,同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。,二、泛定方程和定解條件,泛定方程：反映系統(tǒng)內部作用導出的偏微分方程。,定解條件：確定運動的制約條件。,34,初始時刻的溫度分布：,B、熱傳導方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,不含初始條件，只含邊界條件,A、 波動方程的初始條件,1、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),系統(tǒng)各點的初位移 系統(tǒng)各點的初速度,35,初始條件：給出未知函數(shù)u及其關于某個自變量t的若干階偏導數(shù)在同一點t=t0的值。,如：k階的偏微分方程，初始條件即為：,36,特別地：端點固定在平衡位置。,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,A、 波動方程的邊界條件,：兩端運動已知 x1, x2,：端點受力已知。 以左端為例,第類齊次邊界條件,如果弦的左端x=x1點受橫向外力F1(t)。 取微元x1, x1+dx,分析u0方向受力。,第類邊界條件,37,u0方向,忽略一階無窮小量，令dx趨于0，得邊界條件,第類邊界條件,第類齊次邊界條件,38,：端點彈性支承,如果弦的左端x=x1點彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承 取微元x1, x1+dx,分析u0方向受力。,u0方向,忽略一階無窮小量，令dx趨于0，得邊界條件,第類邊界條件,第類齊次邊界條件,39,綜合：,左端點,右端點,記憶：法邊界的外法向,40,特別地：邊界溫度保持為零（放在冰里）。,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,B、 熱傳導方程的邊界條件,：邊界溫度已知,：邊界熱流密度已知,41,特別地：邊界絕熱。,：與外界自由熱交換,微元分析法：在邊界面上(x,y,z)處取一小微元ds,厚度基本上沒有，在t,t+dt內,從物體內部流入面元ds的熱量,根據(jù)牛頓冷卻定律：單位時間從周圍介質傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比, 即,熱交換系數(shù),外界的溫度,從外部流入面元的熱量,42,考慮面元ds的厚度趨于零，即：熱量不能在面元上積累。,統(tǒng)一式,非齊次項,43,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,C、 場位方程的邊界條件,：邊界上電位已知,：邊界上的電荷面密度已知,*邊界條件和初始條件的比較,例如：弦振動方程，x1 xx2,給出了邊界上的情況,給出同一時刻的情況,常用的：邊界接地。,44,3、銜接條件,有時在研究的物理系統(tǒng)中由于某種原因在某些部分發(fā)生了突變，那么在突變點就要給出不同的條件。,例1：一根桿由兩段不同材料的桿連接而成，則連接點兩邊的總振動 需滿足不同方程,連接點條件：,45,例2：靜電場中，在兩種電介質的交界面S上，電位應連續(xù)：,交界面不帶自由電荷時，電位移矢量D的法向分量也應連續(xù)：,46,例3 ：一根長為l的弦，兩端固定于x=0和x=l ,在距離坐標原點為b的位置將弦沿著橫向拉開距離h，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。,解：初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有,初始位移如圖所示：,47,把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。,定解問題的適定性,如果一個定界問題的解是存在、唯一和穩(wěn)定的，則稱此定界問題是適定的。,三、定解問題及其適定性,混合問題(有界弦),48,解的存在性：定解問題是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應 的微小變動。,一般來說，方程的階數(shù)對應于定解條件的個數(shù)； 條件多了，將會破壞解的存在性； 條件少了，將會破壞解的唯一性。,不適定性,1917年阿達瑪曾給出著名例子。初始條件,唯一解，但不穩(wěn)定。,49,4 本節(jié)重點： 利用特征線求通解，然后用定解條件定特解。,2 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。,3 關鍵步驟： 通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。,1.4 通解法和行波法,1 研究對象： 一階線性偏微分方程，一維波動方程。,50,一、一階線性偏微分方程的通解,思路： 把偏微分 方程降階,51,-右行波,通常，絕大多數(shù)的方程不能直接分解降階，且降階后也不能積分出通解，通常需要作變量代換，化簡為可求解形式。,52,一階線性偏微分方程的一般形式：,n=2,方程(1)變?yōu)?方程(4)的解,任取的，須保證,53,法向量,切向量,dx，dy與a，b平行，成比例,整體反過來考慮同樣成立。則得定理(1.4.1),54,常微分方程(4)稱為一階線性偏微分方程(3)的特征方程，其積分 曲線 稱為方程(1)的特征曲線。,55,1、n=2，齊次,討論：,56,討論：,2、n=2，非齊次,57,58,右行波解,59,60,61,3、推廣，n2,一階線性偏微分方程的一般形式：,變量代換目的是：使得B中大部分為0，可將方程化簡為：,=0,62,考慮簡單的情況(C=F=0)，則一般方程,n-1個一階常微分方程組，則特征曲線也為n-1個。,作變量代換：,63,64,65,66,1.3 二階線性偏微分方程的分類和標準型,一般形式：,1.3.1 特征方程和特征線,考慮兩個自變量的情況：u=u(x,y),67,其中二階導項系數(shù),68,為了化簡(1.3.5)中的二階偏導數(shù)，若選取(x,y)、 (x,y)是一階線性偏微分方程,的解，則A11A22至少有一個為0。則上式的求解歸結為下式求解,式(1.3.2)的特征方程,69,其中， (1.3.9)式為方程(1.3.2)的特征方程，其積分曲線為方程的特征曲線。,1.3.2 方程的分類、化簡和標準型,特征方程 (1.3.9)式的解取決于它的判別式,且方程經(jīng)過變量代換后得到的新方程類型不變，即判別式符號不變。,70,此時，特征方程可分解為兩個一階常微分方程。設a110.,解得兩族特征曲線,作變量代換,則J 0 ， A120 ， A11=A22=0 。得新方程：,71,若再作變量代換,可得方程,方程(1.3.12)和(1.3.13)都稱為雙曲型方程的標準型。,此時，特征方程只能分解為一個一階常微分方程。設a110.,解得一族特征曲線,作變量代換,72,則A220 ，A11=0 。且由,新方程為,稱方程(1.3.14) 為拋物型方程的標準型。,此時，特征方程只能在復數(shù)域內分解為兩個一階方程。設a110.,此時不存在實特征線， (1.3.9) 的隱式通解為,為避免引入復變量，作代換,73,則J 0 ， A12=0 ， A11 =A22 0 。可得新方程,稱方程(1.3.15) 為橢圓型方程的標準型。,二階線性偏微分方程按照它的判別式可分為三類：,時，方程稱為雙曲型;,時，方程稱為拋物型;,時，方程稱為橢圓型;,74,三類典型方程,例6、求方程的通解,75,76,例1.3.1、空氣動力學中的特里科米方程，求其標準型。,77,一維波動方程的定解問題,無界弦的自由振動,無界弦的強迫振動,半無界弦的自由振動,半無界弦的強迫振動,三維波動方程的定解問題,二維波動方程的定解問題,球對稱情形,一般情形,球面平均法,行波法,降維法,有限弦的振動問題,1.4.3、波動方程的求解,78,1、達朗貝爾公式的推導,一維波動方程,稱為一維波動方程的行波解，f，g由定解條件給出。,一、 行波法,79,例1.4.6、求無限長弦的自由振動，其數(shù)學模型是一維波動方程的初值問題。,80,則初值問題的解為,此式稱為達朗貝爾公式。,穩(wěn)定性證明,2、達朗貝爾公式的適定性,81,故只要初始條件的誤差足夠小，解的誤差可控制在一定范圍內。即達朗貝爾公式給出的解是穩(wěn)定解。由此可見，一維波動方程的初值問題是適定的。,結論：達朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。,3、達朗貝爾解的物理意義,b. 只有初始速度時：,a. 只有初始位移時， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負向傳播的波,82,特征線,特征變換,行波法又叫特征線法,4 相關概念,83,5、達朗貝爾公式的應用,例1,解：由達朗貝爾公式,(1). 無界弦的自由振動,84,例1.4.7 特征邊值問題（Goursat問題）,解：通解,85,(2).無界弦的強迫振動,86,(3). 半無界弦的自由振動,即一端 x = 0 固定的振動。,希望能利用達朗貝爾公式來求解,87,為此，我們作奇延拓，將(x), (x)從x0延拓到x0。再利用達朗貝爾公式求解。,88,作輔助函數(shù),89,為了得到半無界問題的解，只須限制,當,時，,當,時，,90,91,例,當,當,92,例1.4.9 求三維波動方程的球面對稱解,解：由初始條件的球對稱性，可未知函數(shù),93,代入初始條件，即得特解。,發(fā)散波,會聚波,94,線性偏微分方程可以看成是一個線性算符作用在函數(shù)上的結果。,u (x,y,z,t ),L u = f ( x , y, z, t ) L u = 0,若L u1 = 0, L u2 = 0 則L c1u1+ c2u2 = 0,若L u1 = f , L u2 = 0 則L u1+ u2 = f,即：L c1u1+ c2u2 = c1Lu1+ c2Lu2,1.5 疊加原理和齊次化原理,1. 線性疊加原理,95,(1)有限疊加原理 設滿足線性方程（或線性定解條件） 那么這些解的線性組合必滿足方程（或定解條件）： (2)級數(shù)疊加原理 設滿足線性方程（或線性定解條件） 且級數(shù)收斂，并滿足算子中出現(xiàn)的偏導數(shù)與求和記號交換次序所需要的條件，那么滿足線性方程（或定解條件）,96,(3)積分疊加原理 設滿足線性方程（或線性定解條件） 其中，x表示自變量組；r為參數(shù)組，rV。且積分 收斂，并滿足中出現(xiàn)的偏導數(shù)與積分運算交換次序所需要的條件，那么滿足方程（或定解條件） 特別地，當滿足齊次方程（或齊次定解條件）時，也滿足此齊次方程（或齊次定解條件）。,97,利用疊加原理將問題進行分解：,(2).無界弦的強迫振動,98,利用齊次化原理，若 滿足：,則：,令：,99,從而原問題的解為,100,解：由上面結果,101