2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末小結(jié)知識(shí)整合與階段檢測(cè)含解析蘇教版.docx

第2章 推理與證明對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P52一、合情推理和演繹推理1歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理2從推理所得結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確從二者在認(rèn)識(shí)事物的過程中所發(fā)揮作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得合情推理可以為演繹推理提供方向和思路二、直接證明和間接證明 1直接證明包括綜合法和分析法：(1)綜合法是“由因?qū)Ч彼菑囊阎獥l件出發(fā)，順著推證，用綜合法證明命題的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已經(jīng)證明過的命題，B為要證的命題)它的常見書面表達(dá)是“，”或“”(2)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，包括學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：BB1B2BnA.它的常見書面表達(dá)是“要證只需”或“”2間接證明主要是反證法：反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法，反證法是間接證明的一種方法反證法主要適用于以下兩種情形：(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形三、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為歸納奠基，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為歸納遞推，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的一、填空題(本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上)1(新課標(biāo)全國(guó)卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市由此可判斷乙去過的城市為_解析：由甲、丙的回答易知甲去過A城市和C城市，乙去過A城市或C城市，結(jié)合乙的回答可得乙去過A城市答案：A2周長(zhǎng)一定的平面圖形中圓的面積最大，將這個(gè)結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_解析：平面圖形中的圖類比空間幾何體中的球，周長(zhǎng)類比表面積，面積類比體積故可以得到的結(jié)論是：表面積一定的空間幾何體中，球的體積最大答案：表面積一定的空間幾何體中，球的體積最大3下列說法正確的是_(寫出全部正確命題的序號(hào))演繹推理是由一般到特殊的推理演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的演繹推理的一般模式是“三段論”形式演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大、小前提和推理形式有關(guān)解析：如果演繹推理的大前提和小前提都正確，則結(jié)論一定正確大前提和小前提中，只要有一項(xiàng)不正確，則結(jié)論一定也不正確故錯(cuò)誤答案：4“因?yàn)锳C，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC，BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分5在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為_解析：.答案：186(陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱錐中66102；立方體中68122，由此歸納可得FVE2.答案：FVE27由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出正四面體的一個(gè)性質(zhì)為_解析：正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正四面體各正三角形的中心，故可猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面各正三角形的中心答案：正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面各正三角形的中心8已知x，yR，當(dāng)x2y2_時(shí)，有xy1.解析：要使xy1，只需x2(1y2)1y2(1x2)2y，即2y1x2y2.只需使(y)20，即y，x2y21.答案：19用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程如下：當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，等式成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，等式成立，即12222k12k1；則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11，則當(dāng)nk1時(shí)等式成立由此可知，對(duì)任何nN*，等式都成立上述證明步驟中錯(cuò)誤的是_解析：因?yàn)闆]有用到歸納假設(shè)的結(jié)果，錯(cuò)誤答案：10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2y2r2(r0)內(nèi)切于正方形ABCD，任取圓上一點(diǎn)P，若mn (m，nR)，則是m2，n2的等差中項(xiàng)；現(xiàn)有一橢圓1(ab0)內(nèi)切于矩形ABCD，任取橢圓上一點(diǎn)P，若mn (m，nR)，則m2，n2的等差中項(xiàng)為_解析：如圖，設(shè)P(x，y)，由1知A(a，b)，B(a，b)，由mn可得代入1可得(mn)2(mn)21，即m2n2，所以，即m2，n2的等差中項(xiàng)為.答案：11(安徽高考)如圖，在等腰直角三角形ABC 中，斜邊BC2.過點(diǎn) A作BC 的垂線，垂足為A1 ；過點(diǎn) A1作 AC的垂線，垂足為 A2；過點(diǎn)A2 作A1C 的垂線，垂足為A3 ；，依此類推設(shè)BAa1 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，則 a7_.解析：法一：直接遞推歸納：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，所以ABACa12，AA1a2，A1A2a31，A5A6a7a16.法二：求通項(xiàng)：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案：12已知x0，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則a的值為_解析：由x2，xx3，xx4，可推廣為xn1，故ann.答案：nn13如圖，第n個(gè)圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n個(gè)圖形中共有_個(gè)頂點(diǎn)解析：設(shè)第n個(gè)圖形中有an個(gè)頂點(diǎn)，則a1333，a2444，an2nnn，an(n2)2n2n25n6.答案：n25n614(湖北高考)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n，可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.解析：N(n，k)akn2bkn(k3)，其中數(shù)列ak是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；數(shù)列bk是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；所以N(n,24)11n210n，當(dāng)n10時(shí)，N(10,24)1110210101 000.答案：1 000二、解答題(本大題共6個(gè)小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.證明：a0，b0，ab1.1ab2，ab，4，又(ab)24.8.16(本小題滿分14分)已知數(shù)列an滿足a11，anan1n(nN*)，若Tna1a25a352an5n1，bn6Tn5nan，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解：因?yàn)門na1a25a352an5n1，所以5Tna15a252a353an15n1an5n，由得：6Tna1(a1a2)5(a2a3)52(an1an)5n1an5n15252n15n1an5nnan5n，所以6Tn5nann，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn.17(本小題滿分14分)觀察 sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面兩式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想解：觀察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).證明：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2cos2(30)sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2(30)sin cos sin2sin2cos2(30)sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2.18(本小題滿分16分)已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足0a，b，c1，(2b)c1，(2c)a1，則三式相乘：(2a)b(2b)c(2c)a1而(2a)a21，同理，(2b)b1，(2c)c1，即(2a)b(2b)c(2c)a1，顯然與矛盾，所以原結(jié)論成立19(本小題滿分16分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解：(1)由Sn2nan，得，a12a1，即a11.S2a1a24a2，解得a2.S3a1a2a36a3，解得a3.S4a1a2a3a48a4，解得a4.由此猜想an(nN*)(2)當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，則ak1，這就是說當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)和，可知猜想對(duì)任何nN*都成立，即an(nN*)20(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an