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文檔簡介
3.4 高階導數(shù)與高階微分,定義3.4.1,x0二階可導，且稱,若函數(shù)y =f (x)的導函數(shù)在x0可導，則稱y = f (x)在,x0的,在x0的導數(shù)為y =f (x)在,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內每一點都二階可導，,二階導數(shù)，記作,則稱它在I內二階可導，并稱,二階導函數(shù)，或簡稱為二階導數(shù).,二階及其以上的各,階導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)，,也稱為一階導數(shù).,為f (x)在 I內,類似地可以定義三階導數(shù),四階導數(shù),一般說可由n1階導數(shù)定義n階導數(shù).,y = f (x)的n,階導數(shù)記為,或,例1,解：,設,求,所以,特別地當a=e時有,例2,解：,求y=sinx的n階導數(shù).,則,若,由數(shù)學歸納法可得,類似地有,例3,解：,求y = ln(1+x)的n階導數(shù).,一般地,注,公式(2)稱為萊布尼茲公式.,求函數(shù)的高階導數(shù)常用以下兩個公式：,其中，u(x)與v(x)都是n階可導函數(shù)，,例4,解：,設y = x2sinx,求,令u = sinx，v=x2，則,代入萊布尼茲公式，得,例5,解：,求,設,由參數(shù)方程求導法則得,再運用一次參數(shù)方程求導法則，可得,高階微分,稱它為函數(shù)y =f (x)的二階微分,并記作,設自變量的增量為dx，對固定的dx，一階微分,可看做x的函數(shù).再對x求微分得到,一般地，可由n1階微分定義n階微分，記作,dny，,即,注1,注2,一階微分具有形式不變性，對于高階微分，,已不再具有這個性質.,dx2指dx
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