經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-一階微分方程.pptVIP

,一、可分離變量的微分方程,二、齊次方程,第二節(jié) 一階微分方程,三、一階線性微分方程,四、小結(jié)與思考題,一、可分離變量的微分方程與分離變量法,設(shè)有一階微分方程,其中,都是連續(xù)函數(shù).,根據(jù)這種方程的特點(diǎn),我們可通,過(guò)積分來(lái)求解.,設(shè),以使得未知函數(shù),與自變量置,得,兩邊積分,得,如果,求解可分離變量的方程的方法,上述,例1 求微分方程,解,分離變量,兩端積分,從而,則得到題設(shè)方程的通解,解,分離變量得,得,設(shè),兩端積分,得,于是,則得到題設(shè)方程的通解,記,注：,在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過(guò),程中,用它除方程,兩邊,這樣得到的通解,但是,其失去的解仍包含在通解中.,如在本例中,我們得,則,到的通解中應(yīng)該,但這樣方程就失去特解,而如果允許,則,仍包含在通解,中.,例4,并且資,產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增產(chǎn),同時(shí)該公司每,年要以30百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.,(1),(2),求解方程,這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為,(3),變化特點(diǎn).,解,(1),利用平衡法,即由,凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度,得到所求微分方程,解,(1),得到所求微分方程,(2),分離變量,得,兩邊積分,得,于是,得方程通解:,上式推導(dǎo)過(guò)程中,或,通常稱為平衡解,仍包含在通解表達(dá)式中.,(3),由通解表達(dá)式可知,產(chǎn)額單調(diào)遞減,公司將在36年破產(chǎn);,凈資,萬(wàn)元時(shí),公司將收支平衡,將資產(chǎn)保持在600百萬(wàn)元,不變;,不斷增大.,公司凈資產(chǎn)將按指數(shù),二、齊次方程,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,得,可分離變量的方程,1.定義,解,原方程變形為,求解微分方程,令,則,故原方程變?yōu)?即,分離變量得,齊次方程,分離變量得,兩邊積分得,或,便得所給方程的通解為,回代,求下列微分方程的通解:,解,原方程變形為,令,則,代入原方程并整理,兩邊積分得,即,變量回代得所求通解,課堂練習(xí) 求解微分方程,解,微分方程的解為,一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上面方程稱為齊次的.,上面方程稱為非齊次的.,例如,線性的;,非線性的.,三、一階線性微分方程,齊次方程的通解為,1. 一階線性齊次方程,一階線性微分方程的解法,由分離變量法,2. 一階線性非齊次方程,討論,兩邊積分,即非齊次方程通解形式,對(duì)照,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實(shí)質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,解,例7,第一步，求相應(yīng)的齊次方程的通解,解,例7,第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解,解,例7,例8,解,方程化為,其中,所以,四、利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,例10 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,貝努利方程,解,分離變量法得,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,（一階線性微分方程）,五、小結(jié),1.可分離變量的微分方程:,分離變量法,（1）分離變量;,（2）兩端積分-隱式通解.,可分離變量的微分方程解法：,3.線性非齊次方程,2.齊次方程,齊次方程的解法,線性非齊次方程的解法,思考題,1.求