全國(guó)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)三角恒等變換與解三角形第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案理.doc

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情考向分析1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問(wèn)題的能力，是高考的必考點(diǎn)熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式1三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角基本關(guān)系式：sin2cos21，tan .3誘導(dǎo)公式：在，kZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”例1(1)(2018資陽(yáng)三診)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，則tan等于()A7 B C. D7答案A解析由角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2，tan7.(2)(2018衡水金卷信息卷)已知曲線(xiàn)f(x)x32x2x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)的傾斜角為，則cos22cos23sin(2)cos()的值為()A. B C. D答案A解析由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos .思維升華(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車(chē)等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等跟蹤演練1(1)(2018合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則sin()等于()A B C. D.答案B解析由誘導(dǎo)公式可得，sinsinsin，coscoscos，即P，由三角函數(shù)的定義可得，sin ，則sinsin .(2)(2018衡水金卷調(diào)研卷)已知sin(3)2sin，則等于()A. B. C. D答案D解析sin(3)2sin，sin 2cos ，即sin 2cos ，則.熱點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用函數(shù)yAsin(x)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線(xiàn)可得(2)圖象變換：(先平移后伸縮)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(先伸縮后平移)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)例2(1)(2018安徽省江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度答案A解析由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到g(x)cos 2x的圖象，故選A.(2)(2018永州模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?,2，則_.答案解析函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則A2，解得T，所以2，即f(x)2sin(2x)，當(dāng)x時(shí)，f2sin0，又|0，0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度數(shù)和方向跟蹤演練2(1)(2018濰坊模擬)若將函數(shù)ycos x(0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)ysin x的圖象重合，則的最小值為()A. B. C. D.答案B解析將函數(shù)ycos x(0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為ycos cos.平移后得到的函數(shù)圖象與函數(shù)ysin x的圖象重合，2k(kZ)，即6k(kZ)當(dāng)k0時(shí)，.(2)(2018北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則_；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為_(kāi)答案2解析從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，從而求得函數(shù)的最小正周期為T(mén)2，根據(jù)T可求得2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，結(jié)合所給的區(qū)間，整理得出x.熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)2yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)例3設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x(0)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為.(1)求的值；(2)若函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，求函數(shù)g(x)cos(2x)在0,2上的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，設(shè)T為f(x)的最小正周期，由f(x)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為，得22f(x)max224，f(x)max1，2424，整理得T2.又0，T2，.(2)由(1)可知f(x)sin，f(x)sin.yf(x)是奇函數(shù)，sin0，又0，g(x)cos(2x)cos.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.又x0,2，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.函數(shù)g(x)在0,2上的單調(diào)遞減區(qū)間是，.思維升華函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用類(lèi)題目的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱(chēng)性等問(wèn)題跟蹤演練3(2018四川成都市第七中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)sinsin 2xa的最大值為1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)f(x)sinsin 2xacos 2xsin 2xa2sina1，2a1，即a1，最小正周期為T(mén).f(x)2sin1，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)f2sin12sin1.x，2x，當(dāng)2x，即x0時(shí)，sin，g(x)取最大值1；當(dāng)2x，即x時(shí)，sin1，g(x)取最小值3.真題體驗(yàn)1(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，當(dāng)1cos x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，當(dāng)sin x時(shí)，f(x)有最小值，即f(x)min2.2(2018全國(guó)改編 )若f(x)cos xsin x在a，a上是減函數(shù)，則a的最大值是_答案解析f(x)cos xsin xsin，當(dāng)x，即x時(shí)，ysin單調(diào)遞增，f(x)sin單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在a，a上是減函數(shù)，a，a，00)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度押題依據(jù)本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象平移規(guī)則，防止出錯(cuò)答案A解析由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，則其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可故選A.2如圖，函數(shù)f(x)Asin(x) 與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿(mǎn)足P(2,0)，PQR，M為QR的中點(diǎn)，PM2，則A的值為()A. B. C8 D16押題依據(jù)由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn)，本題結(jié)合平面幾何知識(shí)求A，考查數(shù)形結(jié)合思想答案B解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，a)(a0)則M，由兩點(diǎn)間距離公式，得PM2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，從而f(0)Asin8，得A.3已知函數(shù)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一個(gè)內(nèi)角，且f(x)，求角x的大?。?2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值押題依據(jù)三角函數(shù)解答題的第(1)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對(duì)稱(chēng)軸方程(或?qū)ΨQ(chēng)中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類(lèi)命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式第(2)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式解(1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2xcos，f(x)cos，可得cos.由題意可得x(0，)，2x，可得2x或，x或.(2)x，2x，cos，f(x)cos，1f(x)的最小值為，此時(shí)2x，即x.A組專(zhuān)題通關(guān)1(2018佛山質(zhì)檢)函數(shù)ysincos的最小正周期和振幅分別是()A， B，2 C2，1 D2，答案B解析ysincossinsin2sin，T，振幅為2.2(2018天津市十二校模擬)已知函數(shù)f(x)sin(xR，0)的最小正周期為，將yf(x)的圖象向左平移|個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的一個(gè)值是()A. B. C. D.答案D解析由函數(shù)f(x)sin(xR，0)的最小正周期為，可得2，f(x)sin.將yf(x)的圖象向左平移|個(gè)單位長(zhǎng)度，得ysin的圖象，平移后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，2|k(kZ)，|(kZ)，令k1，得.3(2018河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)f(x)sin x2cos21(0)，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則的值為()A. B. C. D.答案A解析f(x)sin x2cos21sin xcos x2sin，則g(x)2sin2sin.由圖知T2，2，g(x)2sin，則g2sin2sin2，即22k，kZ，k，kZ.又0，的值為.4(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)2sin(x)，f(x1)2，f(x2)0，若|x1x2|的最小值為，且f1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案B解析由f(x1)2，f(x2)0，且|x1x2|的最小值為，可知，T2，又f1，則2k，kZ，00)圖象的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)的最大值為1Bf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)Cf的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減答案D解析因?yàn)閒(x)sin xcos x2sin的相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，得2，即f(x)2sin，所以f(x)的最大值為2，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，所以f0，所以x不是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，所以B錯(cuò)誤；由f2sin2sin，當(dāng)x時(shí)，f20，所以x不是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，f(x)單調(diào)遞減，所以D正確6在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P(，1)，則tan _，cos sin_.答案0解析角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P(，1)，x，y1，tan ，cos sincos cos 0.7(2018河北省衡水金卷模擬)已知tan 2，則_.答案解析tan 2，.8(2017全國(guó))函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為1.9(2018濰坊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿(mǎn)足f(x)f(x)sin x，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，則f_.答案解析f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin x，則f(x)f(x)sin(x)f(x)sin x.f(x)f(x)，即f(x2)f(x)函數(shù)f(x)的周期為2，fff