隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì).ppt

1,第三章 隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì),鄭寶玉,2,內(nèi) 容,隨機(jī)信號(hào)的特征 經(jīng)典譜估計(jì)與現(xiàn)代譜估計(jì) 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計(jì)法 最大熵譜估計(jì)算法 最小方差譜估計(jì) 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) 高階譜估計(jì),3,最大熵譜估計(jì)算法,Levinson算法 Berg算法,4,Levinson算法,MEM的核心是求解如下方程：,這個(gè)方程實(shí)際上是聯(lián)合AR模型法和預(yù)測(cè)濾波法得出的。 我們發(fā)現(xiàn)，方程(1)有如下特點(diǎn)： 系數(shù)矩陣是一個(gè)Toplitz矩陣，利用Toplitz矩陣的性質(zhì) 可簡(jiǎn)化方程求解。 實(shí)際問題中，一般只知道信號(hào)的某些觀測(cè)值，而不知道 其AR模型階數(shù)，該階數(shù)也需要在方程求解過(guò)程中找到。 下面介紹兩種算法。,引言,5,Levinson算法,原理 假設(shè)已得到k階線性預(yù)測(cè)系數(shù)(預(yù)測(cè)濾波參數(shù))，我們來(lái)考慮求k1階濾波參數(shù)。k階濾波參數(shù)的矩陣方程為,由于系數(shù)矩陣的Toplitz性質(zhì)，上式又有如下形式,6,Levinson算法,現(xiàn)考慮模型階數(shù)增加1, 即從k變?yōu)閗+1的情況。 對(duì)于k+1模型, 有,由于系數(shù)矩陣的Toplitz性質(zhì)，k+1階系數(shù)矩陣 可有兩種分塊形式。,7,Levinson算法,利用這個(gè)性質(zhì)，可設(shè),式中,8,Levinson算法,比較(3)和(4)，可知，當(dāng),(3)與(4)等效；且有下列兩個(gè)遞推關(guān)系式：,即當(dāng)下式成立時(shí),和,由(8)末式還可得：,(5)(10)構(gòu)成Levinson算法基礎(chǔ)。,9,Levinson算法,現(xiàn)用i表示遞推過(guò)程的階數(shù)，令i=k+1, 并設(shè)信號(hào)模型的最大階數(shù)為N，則有如下Levinson算法: 1) 由(3)式，令i=k+10，得 2) 置i=k+11; 3) 由(8)、(10)式計(jì)算 4) 由(7)、(10)式計(jì)算 5)由(6)、(7)和(10)式計(jì)算 6) 置i =i+1; 7) 判別：若 轉(zhuǎn)3)；否則，結(jié)束程序。,算法,10,Levinson算法,討論,Levinson算法第4步利用了一個(gè)重要遞推關(guān)系(12)， 通常稱為L(zhǎng)evinson關(guān)系式 遞推過(guò)程產(chǎn)生一個(gè)濾波參數(shù)序列 通常稱為偏相關(guān)系數(shù) 遞推過(guò)程產(chǎn)生的 可用來(lái)監(jiān)視i階信號(hào)模型的均方 誤差估值。 遞推結(jié)果的最終解為 和,遞推過(guò)程及結(jié)果,11,Levinson算法,討論,優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單 缺點(diǎn)：需根據(jù)有限觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)序列r(n) 短數(shù)據(jù)序列時(shí)，自相關(guān)估計(jì)值誤差很大，引起預(yù)測(cè) 濾波參數(shù)誤差，導(dǎo)致“譜峰飄移”和“譜線分裂”(即出 現(xiàn)虛假譜線) 長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列時(shí)，自相關(guān)估計(jì)值雖精確，但計(jì)算量大。,優(yōu)缺點(diǎn),12,Berg算法,前向預(yù)測(cè)與后向預(yù)測(cè) 考慮信號(hào)序列值：,前向預(yù)測(cè),后向預(yù)測(cè),前向預(yù)測(cè)誤差：,后向預(yù)測(cè)誤差：,其中 分別為p階前、后向預(yù)測(cè)系數(shù)。,13,Berg算法,Berg算法原理,根據(jù)前面的基本概念，可知m階前向預(yù)測(cè)誤差為,類似地， m階后向預(yù)測(cè)誤差為,再利用Levinson關(guān)系式：,有,其中,14,Berg算法,Berg算法原理（續(xù)）,定義m階前、后向預(yù)測(cè)誤差的功率為,將(16)代入(17)，并令Pm對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)為零,得最佳,15,Berg算法,Berg算法,設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,N，則可按下列步驟計(jì)算預(yù)測(cè)濾波器系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算功率譜。 1. 置m=0, 計(jì)算初值,2. m=m+1,并按(19)計(jì)算反射系數(shù),3.計(jì)算濾波器系數(shù)：,4. 計(jì)算預(yù)測(cè)誤差功率Pm：,5.按(16)式計(jì)算濾波器輸出,6. 置m=m+1, 并重復(fù)步驟(2)-(5), 直到m=p。,16,Berg算法,Berg算法（續(xù)）,最后，由Berg算法估計(jì)的濾波器系數(shù),計(jì)算功率譜密度：,17,內(nèi) 容,隨機(jī)信號(hào)的特征 經(jīng)典譜估計(jì)與現(xiàn)代譜估計(jì) 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計(jì)法 最大熵譜估計(jì)算法 最小方差譜估計(jì) 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) 高階譜估計(jì),18,最小方差譜估計(jì),基本原理 MV譜與ME譜或AR譜的關(guān)系,19,最小方差譜估計(jì),MVSE基本原理,三點(diǎn)說(shuō)明 最小方差功率譜估計(jì)(MVSE)，又稱最大似然譜估 計(jì)，但實(shí)際上它并不是最大似然譜估計(jì)； 提出者Capon,1969也把這個(gè)方法叫做高分辨率譜估 計(jì)方法，但實(shí)際上其分辨率并不高于AR模型法； 盡管這樣，但由于其思路獨(dú)特，仍有了解的必要。 下面，討論該方法的導(dǎo)出過(guò)程。,20,最小方差譜估計(jì),MVSE基本原理,算法推導(dǎo) 將隨機(jī)信號(hào)x(n)通過(guò)FIR濾波器A(z):,則其輸出為,其中,y(n)的均方值，也就是y(n)的功率，由下式給出：,式中 為r(0),r(1),r(p)構(gòu)成的Toeplitz矩陣。 若y(n)的均值為零，則 也是y(n)的方差。,21,最小方差譜估計(jì),MVSE基本原理,算法推導(dǎo)（續(xù)） 求濾波器的系數(shù)，有兩個(gè)原則：,在某一給定頻率 處,x(n)無(wú)失真通過(guò),這等效于要求：,式中,在 附近的頻率分量被拒絕,即在 附近使 為最小。 為同時(shí)滿足這兩個(gè)原則，必須滿足下式：,這就是“最小方差”譜估計(jì)的來(lái)歷。,22,最小方差譜估計(jì),MVSE基本原理,算法推導(dǎo)（續(xù)） 利用Lagrange乘子法求解(5)式,得最小方差濾波器系數(shù)為,相應(yīng)的最小方差為,從而，估計(jì)的最小方差譜為,應(yīng)該注意， 并不是真正意義上的功率譜，因?yàn)?對(duì) 的積分并不等于信號(hào)的功率，但它描述了真正譜的相對(duì)強(qiáng)度。,23,最小方差譜估計(jì),MV譜與AR譜的關(guān)系,對(duì)自相關(guān)矩陣的逆矩陣 作Cholesky分解，有,其中 分別是0階p階AR模型系數(shù)和激勵(lì)功率(即方差)組成的矩陣，即,24,最小方差譜估計(jì),MV譜與AR譜的關(guān)系（續(xù)）,將(8)代入(7)，得,于是，我們得到MV譜與AR譜之間的一個(gè)重要關(guān)系：,其中,25,內(nèi) 容,隨機(jī)信號(hào)的特征 經(jīng)典譜估計(jì)與現(xiàn)代譜估計(jì) 參數(shù)模型法概述 基于AR模型的譜估計(jì)法 最大熵譜估計(jì)算法 最小方差譜估計(jì) 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) 高階譜估計(jì),26,基于矩陣特征分解的譜估計(jì),自相關(guān)矩陣的特征分解 基于子空間的頻率估計(jì)與信號(hào)估計(jì),27,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本原理,設(shè)信號(hào)x(n)由M個(gè)復(fù)正弦加白噪聲組成, 分別是第 i 個(gè)復(fù)正弦的功率和頻率, 則x(n)的自相關(guān)函數(shù)為,式中正弦信號(hào)的幅度為 為白噪聲的功率。,如果由(p+1)個(gè)rxx(n)組成自相關(guān)矩陣：,28,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本原理（續(xù)）,且定義信號(hào)向量：,則由(1)-(3), 有,式中第一、二項(xiàng)分別為信號(hào)陣和噪聲陣,前者最大秩為M. 設(shè) ，對(duì)Rp進(jìn)行特征分解得：,式中Vi 是對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量,特征向量相互正交，即,29,自相關(guān)矩陣的特征分解,基本結(jié)論,從上面討論可以看出： Rp的所有特征向量V1, , Vp+1形成p+1維向量空間(信息空間), 且V1, , Vp+1相互正交。 利用相關(guān)矩陣的特征值，可將信息空間分成兩個(gè)子空間： 由主特征向量 V1, , VM 張成信號(hào)子空間(主分量) 其特征值分別為 由特征向量 VM+1, Vp+1 張成噪聲子空間 其特征值均為 信號(hào)向量e1,eM和主特征向量V1, , VM張成相同的子空間 信號(hào)子空間。 結(jié)論:可在信號(hào)子空間或噪聲子空間進(jìn)行譜估計(jì)和頻率估計(jì) 應(yīng)用:借助噪聲子空間噪聲特性,從信號(hào)子空間估計(jì)有用信號(hào) 下面考慮pM和pM兩種情況下基于噪聲子空間的估計(jì)問題,30,基于矩陣特征分解的譜估計(jì),自相關(guān)矩陣的特征分解 基于子空間的頻率估計(jì)與信號(hào)估計(jì),PHD方法 MUSIC方法,31,理論基礎(chǔ) 若p=M, 則(5)式中Rp僅有一個(gè)噪聲向量VM+1,它所 對(duì)應(yīng)的 特征值就是噪聲方差 ，該特征值也是Rp的最小特征 值（因?yàn)榇藭r(shí) ）?？梢宰C明，這時(shí)有,定理 1 噪聲向量VM 與信號(hào)向量ei(i1,M)都正交,即,令,則根據(jù)定理1有,其中,Pisarenko諧波分解(PHD),32,Pisarenko諧波分解(PHD),PHD算法的步驟,1)求x(n)的自相關(guān)函數(shù)并構(gòu)成自相關(guān)矩陣Rp,且設(shè) p=M 2)對(duì)Rp進(jìn)行特征分解,得特征值 及特征向量 將其排序并找出最小的特征值 及相應(yīng)的 3)將 代入(7)，形成 M 階多項(xiàng)式并求該多項(xiàng)式的根， 得到x(n)的M 個(gè)頻率 4)由(1)有,5)再由(1)得： 故可求得,33,MUSIC方法,理論基礎(chǔ) 若噪聲子空間的向量不止一個(gè)，用類似的方法可以證明有,定理2 信號(hào)向量ei與噪聲子空間的向量Vk都正交，即,由于自相關(guān)矩陣Rp的特征向量 構(gòu)成一組正交基，因此有,注意: (11)對(duì)應(yīng)于Mp的情況，在這種情況下，若再使用(8), 則求出的V(z)將有p-M個(gè)多余零點(diǎn)。故不宜再使用(8)計(jì)算。,34,MUSIC方法,MUSIC算法,基本思路 由于信號(hào)向量與噪聲子空間的各個(gè)向量都正交, 因此 信號(hào)向量與噪聲空間各向量的線性組合也 正交,故有,且上式在 處應(yīng)為零。從而有,該峰值對(duì)應(yīng)的就是正弦信號(hào)的頻率，分辨率優(yōu)于AR模型法。,35,空間譜估計(jì)問題,陣列信號(hào)處理問題,陣列：多個(gè)天線（傳感器）的組合 陣元每個(gè)天線（傳感器）