高等數(shù)學(xué)》(北大第二版)第11章習(xí)題.ppt

第十一章 無 窮 級 數(shù) （習(xí)題課）,10.1 斂散性判定的方法,10.1.2 正項(xiàng)級數(shù)收斂準(zhǔn)則,正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件：它的部分和數(shù)列上有界. 這一準(zhǔn)則是正項(xiàng)級數(shù)各種判斂法的理論基礎(chǔ).,10.1.3 比較判斂法,設(shè)有正項(xiàng)級數(shù),:,例2 判定下列級數(shù)的斂散性,最常用來作比較的級數(shù)是等比級數(shù)qn ( q 0）,調(diào)和級數(shù),比值判斂法 對于正項(xiàng)級數(shù) 如果,根值判斂法 對于正項(xiàng)級數(shù) 如果,例 5 判定下列級數(shù)的斂散性,10.1.4 積分判斂法,若f(x) 連續(xù)、非負(fù)、不增，則正項(xiàng)級數(shù) 與無窮級數(shù),同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散。.,從而當(dāng)相應(yīng)的無窮積分的斂散性易于判斷時(shí)，可以通過積分來 判定.,10.1.5 任意項(xiàng)級數(shù)收斂準(zhǔn)則,判定任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性，通常把它轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的絕對值組成 的級數(shù)，即一正項(xiàng)級數(shù)而加以考慮，這時(shí)如果收斂，原級數(shù)也收 斂，稱為絕對收斂。對于絕對收斂的任意項(xiàng)級數(shù)，正項(xiàng)級數(shù)的判斂 法都能直接用上.一般地，有關(guān)于級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則：級數(shù),收斂的充要條件為，對于任意給定的0,總存在N,使對任何 nN及自然數(shù)p,總有|un+1+un+2+un+p| .,按照這一準(zhǔn)則也可以導(dǎo)出級數(shù)收斂的必要條件為un 0,及 Leibniz判斂法.,10.1.6 laibniz 判斂法,如果交錯(cuò)級數(shù),則該級數(shù)收斂,也單調(diào)趨于零， 故級數(shù)收斂.,故級數(shù)收斂 .,故原級數(shù)發(fā)散.,故原級數(shù)收斂.,當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，故有,由萊布尼茲定理知：,（4）解 因?yàn)?故原級數(shù)絕對收斂.,10.2 冪級數(shù)解題的方法,10 .2.1 收斂半徑的確定,故級數(shù)的收斂半徑為1. 下面考慮 的情形，顯然有,10.2.2 函數(shù)按冪級數(shù)展開的方法,將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法有兩種：,1.直接展開法 ； 2.間接展開法.,例14 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：,10.2.3 求冪級數(shù)和函數(shù)的方法,1.直接求和法：就是直接計(jì)算它的部分和極限，或者利用已知 的展開式，因?yàn)槊總€(gè)展開式倒過來就是一個(gè)求和公式.,2.間接求和法：是將所給級數(shù)作適當(dāng)變形，使變形后的級數(shù)易于 求和，然后將所得的和作適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，就得所求的和函數(shù)了.,例 15 設(shè)級數(shù) 試求：,（1）收斂區(qū)間； （2）和函數(shù)S(x); (3),10.2.4 利用冪級數(shù)求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和,10.3 Fourier級數(shù)展開的方法,例 20 將函數(shù) 展開成正弦級數(shù).,解 將此函數(shù)作奇延拓，延拓成 上的奇函數(shù)，則,又延拓后的函數(shù)在x=0間斷，在 連續(xù)，所以,解 設(shè)已作奇延拓和周期延拓，則可展開成正旋級數(shù)，其,又f(x)作了上述