高中數(shù)學1-7-2定積分在物理中的應用.ppt

1.7.2 定積分在物理中的應用,【課標要求】 1通過具體實例了解定積分在物理中的應用 2會求變速直線運動的路程、位移和變力作功問題 【核心掃描】 利用定積分求變速直線運動的路程、位移和變力所作的功 (重點),自學導引 定積分在物理中的應用,想一想：利用定積分求變速直線運動的路程和位移是同一個式子 嗎？ 提示 路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念，(1)當v(t)0時，求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用 求解； (2)當v(t)0時，求某一時間段內(nèi)的位移用 求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為 .,名師點睛 1在變速直線運動中求路程、位移 路程是位移 的絕對值之和，從時刻ta到時刻tb 所經(jīng)過的路程S和位移S分別為： (1)若V(t)0，則S V(t)dt，S V(t)dt. (2)若V(t)0，則S V(t)dt，S V(t)dt. (3)若在區(qū)間a，c上，V(t)0，在區(qū)間c，b上V(t)0， 則s V(t)dt V(t)dt；S V(t)dt.,2定積分在物理中的應用 (1)做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即s v(t)dt. (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所作的功為WFs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間a，b上的定積分，即W F(x)dx.,說明：做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實就是時間一速度坐標系中對應曲邊梯形的面積，而變力做功實際上也是位移力坐標系中對應曲邊梯形的面積在變力做功時，不限定F(x)為非負數(shù)，這樣求出來的定積分可能為負數(shù)當定積分為負數(shù)時，說明變力做負功，即克服變力做了功,題型一 求變速直線運動的路程、位移 【例1】 有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)求 (1)P從原點出發(fā)，當t6時，求點P離開原點的路程和位移； (2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值 思路探索,解 (1)由v(t)8t2t20得0t4，即當0t4時，P點向x軸正方向運動，當t4時，P點向x軸負方向運動 故t6時，點P離開原點的路程 當t6時，點P的位移為,(2)依題意 (8t2t2)dt0，,(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關(guān)鍵 (2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤,【變式1】 變速直線運動的物體的速度為v(t)1t2，初始位置為x01，求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置 解 當0t1時，v(t)0，當1t2時，v(t)0. 所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程,題型二 求變力所作的功 【例2】 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推到b處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功 力F對物體所做的功為WFS，求出變力F的表達式是本題中求功的關(guān)鍵,【題后反思】 解決變力作功注意以下兩個方面： (1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步 (2)根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題,因為位置決定于位移，所以它是v(t)在0,