地圖的數(shù)學基礎.ppt

第三章 地圖的數(shù)學基礎,第一節(jié) 地圖投影的概念 地圖投影是地圖學重要組成部分之一，是構成地圖的數(shù)學基礎，在地圖學中的地位是相當重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領域也相當廣泛，實際上它已經(jīng)形成了一門獨立的學科。 我們學習投影的目的主要是了解和掌握最常用的最基本投影的性質和特點以及他們的變形分布規(guī)律，從而能夠正確的辨認使用各種常用的投影。,一、地球的形狀和大小 地球作為地圖投影的投影對象，有其獨特的形狀和大小，地球的形狀是個球體，地球并不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近似于梨形的橢球體。能替代地球的是一個近似于旋轉的橢圓體，稱為地球橢球體，測繪工作中采用地球橢球體。 地球橢球體的大小，由于推求所用資料、年代和方法不同，許多科學家所測定地球橢球體的大小也不盡相同，我國1953年以前采用海福特橢球體，從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體，它的長半徑（赤道半徑）a=6378245m，短半徑b=6356863m ，偏率 d=a-b/a=1：298.3這是原蘇聯(lián)科學家克拉索夫斯基1940年測定的。 由于地球橢球體長短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時，因為縮小的程度很大，若制作1：1000萬地圖，地球橢球體縮小1000萬倍，這時長短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時必須將地球視為橢球體。,二、地圖表面和地球球面的矛盾 地圖通常是繪在平面介質上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經(jīng)線月牙切開，或是沿緯線切開，或是在極點結合，或是在赤道結合，他們都是有裂隙的。,三、地圖投影的概念 球面上任一點的位置是用地理坐標（、）表示的，而平面上點的位置是用直角坐標（縱坐標是x,橫坐標是y）表示的，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數(shù)學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關系的數(shù)學方法，稱為地圖投影。,投影演示,球面上任意一點的位置決定于它的經(jīng)緯度，所以實際投影時是先將一些經(jīng)緯線的交點展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點連成經(jīng)線，相同緯度的點連成緯線，構成經(jīng)緯線網(wǎng)。有了經(jīng)緯線網(wǎng)后，就可以將球面上的地理事物，按照其所在的經(jīng)緯度，用一定的符號畫在平面上相應位置處。由此看來，地圖投影的實質是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學法則轉移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎”，是地圖的主要數(shù)學要素。,四、地圖投影的方法 1.幾何投影（透視投影） 假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等。象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。,2.解析法 隨著科學生產(chǎn)的發(fā)展，幾何透視法遠遠不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動了地圖投影的發(fā)展，出現(xiàn)了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影面（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學分析法確定球面與平面之間點與點之間一一對應的函數(shù)關系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函數(shù)f1f2的具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系式，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點表示到平面上了。,第二節(jié) 地圖投影的變形 一、變形的概念 由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，得到經(jīng)緯網(wǎng)的形狀不同,它們與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀也是不完全相似的。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物。也必然發(fā)生了變形，為了正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生的變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實際應用價值。,二、研究變形的方法 研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實現(xiàn)的。地球儀是地球的真實縮小。通過比較就會發(fā)現(xiàn)兩者是不會相同的。為了研究變形方便首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點： 1.地球儀上所有經(jīng)線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小，在極地成為一點。換句話說緯線長度不等，赤道最長，隨著緯度增高，極地為零。 2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。 3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。 4.緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，而從赤道向兩極逐漸縮小。 5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，不同緯度帶內(nèi)，網(wǎng)格面積不等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。,比 較,三、投影變形的相關概念 1.長度比和長度變形 設地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds,如圖所示。 平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為： =ds/ds 長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。,通常研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經(jīng)線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經(jīng)緯線成直交者，經(jīng)緯線長度比就是最大和最小長度比。投影后經(jīng)緯線不直交，其夾角為,則經(jīng)緯線長度比 m、n和最大、最小長度比a、b之間具有如下關系：根據(jù)解析幾何中阿波隆尼亞定理 m2+n2=a2+b2 mnsin=ab 用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是長度比（）與1之差，用v表示長度變形則：v=-1 由此可知，長度變形有正負之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。,2.主比例尺和局部比例尺 平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影時有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。,3.主方向 由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后不一定正交，例如設o是球面上兩條互相垂直的微小線段，過o作兩條垂線ac和 bd，投影后ac和bd。即地球面上角aob和角boc為直角投影后分別為鈍角aob和銳角boc。,a,b,c,d,a,o,o,b,c,d,設想ac、bd二垂線相對位置保持不便，并繞o點順時針旋轉，當旋轉90度時，直角aob轉到原來boc的位置，這時投影由原來的銳角轉變成鈍角；同樣的，直角boc轉到了cob的位置它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。,a,b,c,d,a,o,o,b,c,d,在主方向上，具有極大和極小長度比。例如我們講過的高斯-克呂格投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直。所以該投影中，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后為正交，經(jīng)緯線方向均為主方向。但也有一些投影經(jīng)緯網(wǎng)斜交，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。,4.變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數(shù)學方法驗證一下。,設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是圓上一點，圓心曲線方程為 x2+y2=1 o為o的投影，以主方向作為坐標軸，M（x,y）是M（x,y）的投影，令主方向長度比為a和b，則: x/x= a, y/y= b 則:x =x/a, y =y/b (x,y)為圓上一點，將其代入圓的方程，得 x2/a2+y2/b2=1,這是一個橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影的變形，故叫做變形橢圓。,M,M,在研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比為ba;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。 5.面積比與面積變形 投影平面上的微小面積與球面上相應微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF=ab,相應球面上微小圓的面積dF=12為例，以P表示面積比，則:,P=dF/dF=ab/12=ab 上式說明面積比等于主方向長度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時： P=mn 若經(jīng)緯線方向不是主方向時，則面積比: P=mnsin(為投影后經(jīng)緯線夾角) 面積比是個變量，它隨點位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。 Vp=p-1 面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。,6.角度變形 投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點可以做許多方向線，每兩條方向線均可以組成一個角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。,7.等變形線 在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據(jù)計算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。,等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。 等變形線通常是用點虛線來表示的。,第三節(jié) 地圖投影的分類 地圖投影的種類很多，由于分類的標志不同，分類的方法也不同。 一、按變形性質分類 地球球面投影到平面時，產(chǎn)生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。,1.等角投影（正形投影） 角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件是： w=0 sin(w/2)=(a-b)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。 多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖。,等積投影的條件是： Vp=p p=1 因為 p=ab 所以a=1/b或b=1/a 由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。,2.等積投影 投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點微小圓投影后為面積相等的各個橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。,3.任意投影 任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。 在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是m=1。即誤差橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。,等角投影 等積投影 等距投影 任意投影,如圖表示各種變形性質不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出： 等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。 任意投影不能保持等積、等角特性。 等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。,二、按構成方法分類 1.幾何投影 幾何投影是把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的