中考數(shù)學(xué)命題研究第三編綜合專(zhuān)題闖關(guān)篇專(zhuān)題六二次函數(shù)中存在性問(wèn)題習(xí)題.docx

專(zhuān)題六 二次函數(shù)中存在性問(wèn)題二次函數(shù)中存在性問(wèn)題是貴陽(yáng)中考必考內(nèi)容，近5年共考了4次，主要與幾何圖形結(jié)合起來(lái)考查，且都以解答題形式出現(xiàn)，分值12分預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)中考對(duì)二次函數(shù)存在性問(wèn)題仍會(huì)考查，且涉及到的內(nèi)容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性問(wèn)題,中考重難點(diǎn)突破) 相似三角形存在性問(wèn)題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例1】(2016貴陽(yáng)模擬)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(2，0)，B(3，3)及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)由于拋物線經(jīng)過(guò)A(2，0)，B(3，3)及原點(diǎn)O，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式； (2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)分兩種情況討論，AMPBOC，PMABOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】解：(1)yx2 2x；(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DEAO，DEAO，由A(2，0)知：DEAO2, 若D在對(duì)稱(chēng)軸直線x1左側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為3，代入拋物線表達(dá)式得D1(3，3), 若D在對(duì)稱(chēng)軸直線x1右側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線表達(dá)式得D2(1，3). 綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)或(1，3)；(3)存在理由如下：B(3，3)，C(1，1), 根據(jù)勾股定理得：BO218，CO22，BC2 20, BO2CO2BC2 , BOC是直角三角形， 假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似， 設(shè)P(x，y)，由題意知x0，y0，且yx2 2x, 若AMPBOC，則， 即， 故x23(x22x)，得：x1，x22(舍去). 當(dāng)x時(shí)，y，即P(，)；若PMABOC，則， 即，故x2 2x3(x2), 得：x13，x22(舍去)，當(dāng)x3時(shí)，y15，即P(3，15). 故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是(，)或(3，15) 1(2017預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B的左側(cè))(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線l平分ABC的面積，求直線l的表達(dá)式；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，連接PQ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)求當(dāng)PBQ與ABC相似時(shí)t的值 解：(1)x2x3；(2)令yx2x30，解得x12，x24，點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(4，0)設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，)直線l過(guò)點(diǎn)A，且平分ABC的面積，直線l過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，設(shè)直線l的表達(dá)式為ykxb，將點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)E(2，)代入得解得直線l的表達(dá)式為yx；(3)A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)，AB6，BC5.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，BP62t，BQt.PBQABC，若時(shí)，PBQABC或時(shí)，QBPABC，當(dāng)時(shí)，則，解得t；當(dāng)時(shí)，則，解得t.綜上所述，PBQ與ABC相似時(shí)，t的值為或. 2(2015西寧中考)如圖，拋物線yx2x2交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到FEC，連接BF.(1)求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求BCF的面積；(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)直線BC的表達(dá)式為yx2；(2)BCF的面積為10；(3)存在分兩種情況討論：如圖，過(guò)A作AP1y軸交線段BC于點(diǎn)P1，則BAP1BOC.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2；點(diǎn)P1在點(diǎn)BC所在的直線上，yx2221，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，1)；如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP2BC于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2Qx軸于點(diǎn)Q.BAP2BCO，解得AP2，BP2；SAP2BABQP2AP2BP2，2QP2，解得QP2，點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是；點(diǎn)P2在BC所在直線上，x，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，)，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)或(，) 等腰三角形存在性問(wèn)題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例2】如圖，已知直線y3x3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(與A點(diǎn)不重合)(1)求拋物線的表達(dá)式； (2)求ABC的面積；(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)M，使ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)【解析】(1)根據(jù)直線表達(dá)式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，可得出b，c的值，求出拋物線表達(dá)式；(2)由(1)求得的拋物線表達(dá)式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算；(3)根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，m)，分三種情況討論，MABA；MBBA；MBMA，求出m的值后即可得出答案【學(xué)生解答】解：(1)拋物線表達(dá)式為yx22x3；(2)SABCACOB436；(3)存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，假設(shè)存在M(1，m)滿足題意，討論：當(dāng)MAAB時(shí)，OA1，OB3，AB，解得m，M1(1，)，M2(1，)；當(dāng)MBBA時(shí)，解得m10，m26，M3(1，0)，M4(1，6)(不符合題意舍去)；當(dāng)MAMB時(shí)，解得m1，M5(1，1)，故共存在4個(gè)點(diǎn)M1(1，)，M2(1，)，M3(1，0)，M5(1，1)使ABM為等腰三角形3(2015貴陽(yáng)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，6)和點(diǎn)C(6，0)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若拋物線與x軸的負(fù)半軸交于B，試判斷ABC的形狀(鈍角三角形、直角三角形或銳角三角形) 解：(1)拋物線的表達(dá)式為yx25x6；(2)ABC為銳角三角形 直角三角形存在性問(wèn)題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例3】(2016貴陽(yáng)中考說(shuō)明) 如圖，拋物線yax2bx4a經(jīng)過(guò)A(1，0)，C(0，4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)D(m，m1)在第一象限的拋物線上，連接CD，BD，把BCD沿BC折疊，求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得DDP是以DD為一直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)把A(1，0)，C(0，4)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入yax2bx4a，根據(jù)待定系數(shù)法可得這個(gè)拋物線的表達(dá)式；(2)將點(diǎn)D(m，m1)代入yx23x4中，得到D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得OBC是等腰直角三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)一步得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；存在滿足條件的點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)D作DEBC交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P1，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線DE的表達(dá)式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)D作DFBC交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P2，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線DF的表達(dá)式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)【學(xué)生解答】解：(1)yx23x4；(2)如圖，將點(diǎn)D(m，m1)代入yx23x4中，得：m23m4m1，化簡(jiǎn)得：m22m30，解得m11(舍去)，m23；D(3，4)，CDx軸，DCO90，由B(4，0)，C(0，4)可得：OBOC4，即OBC是等腰直角三角形，得：OCBDCB45；把BCD沿BC折疊，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D落在y軸上，且CDCD3，ODOCCD1，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)；存在滿足條件的點(diǎn)P.如圖，過(guò)D作DEBC交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P1.DDBC，DDP190，ODE為等腰直角三角形，則E(1，0)，設(shè)直線DE的表達(dá)式為yk1xb1，依題意得解得直線DE的表達(dá)式為yx1.由得過(guò)D作DFBC交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P2.DDBC，DDDF，DDP290，CDF為等腰直角三角形，則F(0，7)，設(shè)直線DF的表達(dá)式為yk2xb2，依題意得解得直線DF的表達(dá)式為yx7.由得(不符合題意舍去)故在拋物線上存在點(diǎn)P，使得DDP是以DD為一直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)或(2，1)或(1，6) 4(2016原創(chuàng))如圖，拋物線yx2mxn與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為D，已知A(1，0)，C(0，2)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)判斷ACD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 解：(1)拋物線的表達(dá)式為yx2x2；(2)ACD是等腰三角形，理由如下：拋物線yx2x2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x，點(diǎn)D(，0)A(1，0)，C(0，2)，AC，AD1，CD，ADCDAC，ACD是等腰三角形；(3)存在令拋物線yx2x20，得x11，x24，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，則BC2，如圖，取BC的中點(diǎn)為S，則點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2，1)設(shè)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P(，t)，使得PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則PSBC，即(2)2(t1)25，解得t11，t21，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，其坐標(biāo)為(，1)或(，1) 面積最值存在性問(wèn)題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例4】(2015安順中考)如圖，拋物線yax2bx與直線AB交于點(diǎn)A(1，0)，B(4，)點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD. (1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)【解析】(1)將拋物線上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式列方程組求解即可；(2)先根據(jù)直線過(guò)A，B兩點(diǎn)列方程組并求出直線表達(dá)式，再用m表示出C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)得線段CD的長(zhǎng)，由圖可知，SSACDSBCD，根據(jù)三角形面積公式可得S關(guān)于m的二次函數(shù)，利用配方法求出S最大時(shí)m的值即可計(jì)算此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)【學(xué)生解答】解：(1)拋物線的表達(dá)式為yx22x；(2)設(shè)直線AB為ykxd，則有解得yx.則D(m，m22m)，C(m，m)，CD(m22m)(m)m2m2.S(m1)CD(4m)CD5CD5(m2m2)m2m5.0，拋物線開(kāi)口向下故當(dāng)m時(shí)，S有最大值當(dāng)m時(shí)，m，點(diǎn)C(，)當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，) 5(2016白銀中考)如圖，已知拋物線yx2 bxc經(jīng)過(guò)A(3，0)，B(0，3)兩點(diǎn)(1)求此拋物線的表達(dá)式和直線AB的表達(dá)式；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)t為何值時(shí)，AEF為直角三角形？(3)如圖，取一根橡皮筋兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 解：(1)直線AB的表達(dá)式為yx3，拋物線的表達(dá)式為yx22x3；(2)OAOB3，BOA90，EAF45，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t s，則AFt，AE3t；()當(dāng)EFA90時(shí)，在RtEAF中，cos45，即.解得t1.()當(dāng)FEA90時(shí)，在RtAEF中，cos45，即.解得t.綜上所述，當(dāng)t1或t時(shí)，AEF是直角三角形；(3)存在過(guò)點(diǎn)P作PNy軸，交直線AB于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BCPN于點(diǎn)C.設(shè)點(diǎn)P(x，x22x3)，則點(diǎn)N(x，x3)，PNx22x3(x3)x23x，SABPSBPNSAPNPNBCPNAD(x23x)x(x23x)(3x)(x)2，當(dāng)x時(shí)，ABP的面積最大，最大面積為，此時(shí)點(diǎn)P(，) 特殊四邊形存在性問(wèn)題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例5】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA，OC分別為12 cm，6 cm，點(diǎn)A，C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且18ac0. (1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)；移動(dòng)開(kāi)始后第t s時(shí)，設(shè)PBQ的面積為S，試寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)由OA的長(zhǎng)從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入表達(dá)式得c12，再與18ac0聯(lián)立從而求出a的值，再利用對(duì)稱(chēng)軸為直線x3求得b的值，繼而求得二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)由題意得APt1PB6t，QB2t，所以SPBBQ(6t)2tt26t(0t6)；由S與t的函數(shù)關(guān)系式可得到S的最大值，當(dāng)以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，要分三種情況加以討論【學(xué)生解答】解：(1)由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，12)，c12，又18ac0，a，ABOC且ABOC6，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x3，x3，b4，拋物線的表達(dá)式為yx24x12；(2)由題意得APt，PB6t，QB2t，SPBBQ(6t)2tt26t，t的取值范圍：0t6；St26t(t3)29，當(dāng)t3時(shí)，S取最大值為9，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，12)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6，6)，若以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有以下三種情況：()當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(3，18)，將(3，18)代入拋物線的表達(dá)式中，滿足表達(dá)式，所以存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)就是(3，18)；()當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(3，6)，將(3，6)代入拋物線的表達(dá)式中，不滿足表達(dá)式，所以點(diǎn)R不滿足條件；()當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(9，6)，將(9，6)代入拋物線的表達(dá)式中，不滿足表達(dá)式，所以點(diǎn)R不滿足條件綜上所述，點(diǎn)R坐標(biāo)為(3，18) 6(2016安順中考)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PAPC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)拋物線的表達(dá)式為：yx22x；(2)由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求設(shè)直線BC的表達(dá)式為ykxb1，由題意，得解得直線BC的表達(dá)式為yx.拋物線yx22x的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2，當(dāng)x2時(shí)，yx，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，)；(3)存在()當(dāng)存在的點(diǎn)N1在x軸的下方時(shí)，如圖所示四邊形ACN1M1是平行四邊形，CN1x軸，點(diǎn)C與點(diǎn)N1關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x2對(duì)稱(chēng)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(4，)；()當(dāng)存在的點(diǎn)N2在x軸上方時(shí)，如圖所示，作N2Hx軸于點(diǎn)H，四邊形ACM2N2是平行四邊形，ACM2N2，N2M2H