超班難題答案.doc

學而思2012年春季四年級超常123班難題匯總延續(xù)2011年秋季的傳統(tǒng)，2012年春季繼續(xù)進行難題匯總和分析，和大家一起分享。聲明：本文檔只是收錄了各講有點難度的題目，并對難題進行解析、分級等，并未對各講內(nèi)容進行總結和分析，各講內(nèi)容的總結和剖析可以參見學而思老師的相關文檔。如您對難題感興趣，可以參閱本文檔。第一講 小數(shù)本講是小數(shù)的入門，主要是小數(shù)的計算，難度不大，掌握一些常用方法即可。小數(shù)計算常用的方法有：(1)湊數(shù)、(2) 擴大再縮小、(3)提取公因數(shù)、 (4)平方和平方差公式、 (5)解方程、 (6)換元法。希望孩子領會各種方法的要領。作業(yè)看了一遍，沒有太大難度。在此分析幾道張老師課堂上講解的補充題目，會對大家有用途的。11、【補充1】計算：201222+40780+3256【難度級別】【解題思路】此題硬算也是可以算出來的，但是此題中包含了幾個有特點的數(shù)據(jù)：2012、407，因為2012年4月7日學而思杯考試。另外，題目是由張老師出的。硬算：22132+32560+3256=57948=80080巧算：201222+40780+4078=201222+407(80+8)=201222+40788=88503+88407=88(503+407)=88910=(811)(71310)=(71113)810=1001810=80080【答案】80080。12、【補充2】2012年12月21日是電影瑪雅人末日，20121221這個數(shù)的數(shù)字和是11，2012年所有日期(日期用8位數(shù)字表示)中是11的倍數(shù)的有多少個？【難度級別】【解題思路】此題目有意思的地方是2012年12月21日這個日期，這個日期可以出不少題目，此題出自張老師，還可以問：數(shù)字之和為11的日期有多少個。2012xxxx11，商是1829xxxx，余數(shù)是：1axx（19月）或2bxx（1012月）。1月2月各2個，3月9月各3個，10月11月3個，12月2個，共33個?！敬鸢浮?3個。13、【補充3】1個兩位數(shù)除以6余3，如果十位數(shù)字和個位數(shù)字對換后的兩位數(shù)仍然除以6余3，則稱這樣的一對數(shù)為“學而思數(shù)”，問“學而思數(shù)”共有多少對？【難度級別】【解題思路】第個關鍵點：此數(shù)是3的倍數(shù)。因為除以6余3，所以能被3整除。第2個關鍵點，此數(shù)不能是2的倍數(shù)。因為此數(shù)是3的倍數(shù)，如果又是2的倍數(shù)，就一定是6的倍數(shù)，就不會除以6有余數(shù)了。不是2的倍數(shù)所以是奇數(shù)，2個數(shù)位對換后也是奇數(shù)，所以這個兩位數(shù)的數(shù)字都是奇數(shù)。第3個關鍵點，推導和計算：除以6余3，除以6也余3，所以+是6的倍數(shù)。+=6k，11a+11b=6k，11(a+b)=6k，a+b是6的倍數(shù)。所以a+b=6或12或18。a+b=6， 15與51、33與33。a+b=12，39與93、57與75。a+b=18，99與99。共5對?！敬鸢浮?對。14、【補充4】正12邊形怎么畫？如果正12邊形的面積是81，則圖中陰影部分的面積是多少？【難度級別】【解題思路】因為今年是2012年，所以幾何圖形正12邊形可能是一個考試的重點。給出一種畫12邊形的方法：先畫一個正六邊形，以每個邊為正方形的邊向外畫正方形，將圖形外側(cè)的正方形頂點都連接起來，就是一個正12邊形?？梢宰C明，圖中的小三角形是等邊三角形。求陰影部分的面積：正12邊形=6個+6個+1個正六邊形，因1個正六邊形=6個，所以正12邊形=6個+12個。而陰影部分=2個+4個，正好是正12邊形的三分之一，所以陰影面積是：813=27?！敬鸢浮?7。15、【補充5】某船往返甲乙兩岸，共用12小時，前6小時比后6小時多走80千米，順水速度比逆水速度大16千米/小時，求甲乙兩岸距離?！倦y度級別】【解題思路】流水行船、追及問題。40前6小時比后6小時多走80千米，說明前6小時順水走了全程并逆水忘回走了，如圖中紅線。后6個小時如圖中藍線。圖中紅線和藍線都是走了6個小時。4040紅線重疊那部分：802=40(千米)。因紅線回來的也是逆水，去掉這逆水行船的40千米，就都變成順水行船了，藍線也去掉40千米的逆水行船，此時紅線和藍線時間還是相同的，如圖。根據(jù)追及問題，S差=40+4080，V順-V逆=16，所以T=8016=5(小時)。說明去掉的40千米用的時間就是：6-5=1(小時)，5小時逆水行船的距離就是：540=200(千米)。全程：200+40+40=280(千米)?！敬鸢浮?80千米。第二講 長度與角度綜合對于剛剛接觸幾何的孩子們來講，接受這些幾何題目的知識點還需要一個過程，本講的長度和角度，還不算太難，需要孩子慢慢領會。但是講義中的部分題目難度偏大，尤其例6和學案4嚴重超綱。ABCDEF12321、【學案3】如圖，正五邊形ABCDE，若CDF為正三角形，試求BFE的度數(shù)。【難度級別】【解題思路】正五邊形的一個內(nèi)角為：(5-2)1805=108。1=60，2=108-60=48。BC=CD=CF，3=(180-2)2=(180-48)2=66。由于正五邊形左右是對稱的，所以EFD=3=66。BFE = 360-1-3-EFD = 360-60-66-66= 168?！敬鸢浮?68。22、【例4】已知一正多邊形，其內(nèi)角小于160，且大于150，試求出此多邊形可能是哪幾種正多邊形？【難度級別】【解題思路】根據(jù)內(nèi)角和公式也可以求，稍微麻煩一點，此題可以根據(jù)多邊形的外角和來求，因為多邊形的外角和360是不變的?！皟?nèi)角小于160且大于150”轉(zhuǎn)換成“外角大于于20且小于30”。正n邊形的一個外角=360n，36020=18，36030=12，所以12n18，n=13、14、15、16、17?！敬鸢浮?3、14、15、16、17。23、【作業(yè)8】華羅庚爺爺說：數(shù)學是中國人民所擅長的學科。請小朋友求解九章算術中一個古老問題：“今有木長二丈，圍之三尺。葛生其下，纏木七周，上與木齊。問葛長幾何？”白話譯文：如圖，有圓柱形木棍直立地面，高20尺，圓柱地面周長3尺。葛藤生于圓柱底部A點，等距纏繞圓柱七周恰好長到圓柱上底面的B點，則葛藤的長度是_?！倦y度級別】【解題思路】此題需要明白圓柱側(cè)面的展開圖，孩子不好理解。先讓孩子明白，一個圓柱體的側(cè)面展開圖是一個長方形，圓柱的高是長方形的寬，圓柱的底面周長是長方形的長。題目是繞7周，我是按照1周計算的。1周的展開圖，高是20/7，下邊長是3，斜邊（葛藤長）的平方=(20/7)2+32=841/49=(29/7)2，斜邊=29/7。所以葛藤總長=(29/7)7=29(尺)。答案是按照圓柱體旋轉(zhuǎn)7圈展開，形成如右圖所示的直角三角形，斜邊就是葛藤的展開痕跡。斜邊的平方=202+212=841，斜邊=29，所以，葛藤總長就是29尺。202120/73【答案】29尺。ABOPCDEF24、【例7】如圖，點P在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點D，在OA邊上求作一點C，使PCD的周長最小?！倦y度級別】【解題思路】做P點關于OA的對稱點E，在做P點關于OB的對稱點F，連接EF，EF交OA于C，EF交OB于D，點C和點D就是題目所要求作的點。PCD的周長=PC+PD+CD=EC+FD+CD=EF。證明：假設OA上的點為C，OB上的點為D，則PCD的周長是： PC+ PD+ CD= EC+ FD+ CD= EC+ CD+ DF，顯然EC+ CD+ DF是從E到F的3條線段，只有3條線段在一條直線上其和才最小，因為E、F兩點間線段最短?！敬鸢浮恳娊忸}思路。25、【作業(yè)7】如圖，A、B兩個電話機到電話線l的距離分別為3米和5米，CD=6米。若由l上的一點分別向A、B連電話線，最短為_?！倦y度級別】AFE【解題思路】與例7類似，利用鏡面對稱，而且多一步利用勾股定理求長度。先找A關于電話線l的對稱點A，連接A和B交于l與F，F(xiàn)A+FB即為所求。因FA=FA，所以FA+FB=FA+FB=AB。由于A、B之間線段最短，所以通過“連接A和B”找到了F點。畫完圖，孩子也不一定會求，即便告訴他們用勾股定理，他們可能還是找不到如何來用。事實上，將DB向左平移讓D點與C點重合，這樣就能看到rtAEB，CE=DB=5，AC=AC=3，AE=3+5=8，EB=CD=6，所以AB2= AE2+EB2=82+62=100，AB=10(米)?！敬鸢浮?0米。26、【例5】如圖，對角線BD將矩形ABCD分割為兩個三角形，AE和CF分別是兩個三角形上的高，長度都等于6cm，EF的長度為5cm，求矩形ABCD的面積?！倦y度級別】ABCDEFOG【解題思路】根據(jù)給的已知條件，要想求面積，需要先求出對角線的長度，對角線BD不好求，連接AC求對角線AC的長度。如圖，以AE、EF為邊向下做一個長方形，這是此題的難點。虛線構成的AGC是直角三角形。AGEF5cm，GCGF+FCAE+CF6+612cm，AC252+122169，AC13cm，BD13cm。當然，也可以不做AG、FG這2條輔助線，由小直角三角形OFC來求對角線的長度，只是數(shù)有小數(shù)，計算復雜一點。OC2OF2+CF22.52+6242.256.52，OC6.5(cm)，AC13cm。矩形ABCD面積BDAE2+BDCF213678(cm2)?！敬鸢浮?8cm2。27、【例8】如圖，四邊形ABCD中，AB30，AD48，BC14，CD40，又已知ABD+BDC90，求四邊形ABCD的面積。ABCDE【難度級別】【解題思路】此題從“ABD+BDC90”入手，這表示2個角的和是90，所以需要把這樣的2個角放到一起構成直角。如圖，將CBD左右翻轉(zhuǎn)一下（形狀不變），D點到B點處，B點到D點處，C翻轉(zhuǎn)成為E點，這樣ABD+BDC90變成了ABD+DBE90，所以ABE90。這樣，四邊形ABCD面積ABD面積+CBD面積ABD面積+EBD面積ABE面積+ADE面積。ABE面積ABBE230402600。AB30，BECD40，AE2302+4022500，AE50。ADE因為三邊的長度已知（AD48，DEBC14，AE50），理論上面積是可求的，但是需要用到三角函數(shù)，此處三邊有特殊性，可以構成直角三角形，所以問題簡化了變成孩子們是可求的。此處，也是勾股定理的反向應用。因為：482+1422500502，所以ADE是直角。因此，ADE面積ADDE248142336。四邊形ABCD面積ABE面積+ADE面積600+336936?！敬鸢浮?36。28、【學案4】如圖，圖中的四邊形ABCD中，AB=BC=CD，B=168，C=108，求D是多少度？【難度級別】【解題思路】這道題的難點就在于不好想，在圖形內(nèi)部怎么做輔助線都得不到很好的思路，所以做了好長時間也沒有做出來。感謝e度論壇的“chongbeibei”提供信息，答案摘自 “學而思講義四年級第14講長度與角度綜合(競賽班)”(/view/2eed204ffe4733687e21aaf6.html)?？吹紺=108，就該想到這是正五邊形的內(nèi)角。于是做正五邊形，同時發(fā)現(xiàn)又出現(xiàn)了個等邊三角形(168-108= 60)。并且圖形對稱，從而ABCDFEOC= 1082 = 54。如何證明圖形是對稱的呢？我是這樣思考的：ABF是等邊三角形已經(jīng)清楚了，其實證明AD垂直于BF即可。取BF的中點O,AO垂直于BF，證明O與O重合即可。O是BF的中點，對于正五邊形而言，DO是對稱軸，所以DO垂直于BF。這樣，AO垂直于BF，DO也垂直于BF，所以AOD=180，A、O、D三點在一條直線上，O與O重合?！敬鸢浮?4。29、【例6】如圖,ABC是等腰三角形，O位于ABC內(nèi)，已知：CAB = 96，ABO=12，OAB=18，那么AOC=？ABCO【難度級別】超ABCOD【解題思路】感謝e度論壇的“chongbeibei”提供信息，答案摘自 “學而思講義四年級第14講長度與角度綜合(競賽班)”(/view/2eed204ffe4733687e21aaf6.html)。ABC是等腰三角形，很適合做對稱。而且CAB=96，當它扣除兩個OAB時，會出現(xiàn)60。做AOB關于中線對稱，為ACD。AO=AD，OAB=CAD=18，于是OAD=96-18-18=60,AO=AD，所以AOD為等邊三角形。在AOB中，AOB=180-12-18=150, ADC=AOB=150。所以ODC=360-150-60=150,證明ADC和ODC全等，得DOC=CAD=18，所以AOC=60+18=78。此題嚴重超綱，因為用到了全等三角形的知識。另外，這道題對于成人而言，也不是一道容易的題目，CAO=96-18-78,根本就沒看出來AOC會和CAO相等，也沒有看出來CA=CO，而要通過對稱后全等得到這些內(nèi)容，這不是很容易想到的?！敬鸢浮?8。第三講 等積變形等積變形是孩子們學習的幾何中比較難的專題了。先總結一下老師課堂上講解的方法，一個幾何題目方法對了很重要。本節(jié)課是在金源時代聽荊晨瑋老師的。第一，一半模型。第二，四邊形的蝴蝶定理。四邊形分成四部分，對角面積乘積相等。第三，等積變形：底不動，頂點平移。主要是找平行線，一大一小兩個正方形時，經(jīng)常用到2個平行的對角線。第四，梯形,兩翼面積相等。第五，共邊。采用比例、份數(shù)等。如果不會使用比例，可以采用分割的方法。第六，鳥頭（共角模型）。2個三角形（記?。菏侨切危┯幸粋€角相等或者互補，面積比等于夾角的邊乘積的比(邊只看比例不看具體的長度)，即：S?。篠大小?。捍蟠?。本講中的例題、學案、作業(yè)題，大量采用了以上方法，所以熟練掌握每一種方法的要點，對于解題非常有幫助。作業(yè)題都很簡單，沒有一道難題，把例題和學案整理了一下。31、【例3】如圖，三角形ABC被分成甲、乙兩部分，BDDC4，BE3，AE6，乙面積是甲面積的幾倍？【難度級別】【解題思路】此題有兩種方法：共邊的比例，鳥頭的共角模型。共邊：連接AD，根據(jù)共邊的比例關系，面積的比例關系已經(jīng)表在圖上，乙是甲的5倍。鳥頭：S甲+乙 ：S甲32 ：116 ：1， S乙 ：S甲5 ：1。【答案】5倍。32、【例4】如圖，已知三角形ABC面積為1，延長AB至D，使BDAB；延長BC至E，使CEBC；延長CA至F，使AF2AC，求三角形DEF的面積。【難度級別】【解題思路】采用共邊的比例。根據(jù)邊的比例關系，面積的比例計算如圖?？偯娣e為10?！敬鸢浮?0。33、【例7】如圖，O是長方形ABCD內(nèi)一點，已知OBC的面積是5cm2，OAB的面積是2cm2，求OBD的面積是多少？【難度級別】【解題思路】采用一半模型。假設長方形ABCD的面積為S。BCD面積SDOC面積+AOB面積SDOC面積SAOB面積S2四邊形BCDO面積DOC面積+OBC面積(S2)+5=S+3OBD面積四邊形BCDO面積BCD面積(S+3)-S3【答案】3cm2。34、【學案3】直角梯形ABCD中，AB15，BC12，AF垂直于AB，陰影部分的面積為15，求梯形ABCD的面積?！倦y度級別】【解題思路】等積變形、比例。DAB等積于CAB，所以DAB面積1512290，進而知道EAB面積901575，15AE275，AE10，EF12102。AE ：EF10：25：1，EFD面積1553。梯形ABCD面積四邊形ABCF面積+陰影+EFD面積=1512+15+3=198?！敬鸢浮?98。35、【學案4】如圖，D是三角形ABC一邊上的中點，兩個長方形分別以B、D為頂點，并且有一個公共頂點E，已知兩塊陰影部分的面積分別是100和120，則三角形BDE的面積是多少？【難度級別】【解題思路】一半模型。為了好描述，假設ABC面積為S0，兩個小長方形面積分別為S1、S2，BDE面積為S。根據(jù)一半模型，從上半部分看，SS0/2-100-S1/2-S2/2。從下半部分看，S120+S1/2+S2/2-S0/2。兩個等式相加，2S20，得到：S10?！敬鸢浮?0。36、【例5】如圖，有三個正方形的頂點D、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長為10厘米，求陰影部分的面積。【難度級別】【解題思路】采用等積變形（底不動頂點平移），兩次變形。連接如圖虛線的3條對角線，GE將陰影分成左右兩部分。根據(jù)等積變形，DGE的面積BGE的面積（底GE不動，D平移到B），KGE的面積FGE的面積（底GE不動，K平移到F），所以陰影的面積DGE的面積+KGE的面積BGE的面積+FGE的面積正方形GFEB的面積1010100(平方厘米)。看看，掌握了等積變形，多有用途，此題不用等積變形會很難做的?！敬鸢浮?00平方厘米。37、【例6】在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面積是7平方厘米，則三角形DEC的面積是_平方厘米?！倦y度級別】【解題思路】這題要不會方法，真不知道如何下手，那還不得瘋了。利用梯形兩翼相等、2次等積變形來做。DEC由3部分組成：DOC、DEO、CEO。根據(jù)梯形兩翼面積相等，DOC的面積AOB的面積。由于EO平行于AD，將DEO等積變形為AEO，由于EO平行于BC，將CEO等積變形為BEO。DEC面積DOC面積+DEO面積+CEO面積AOB面積+AEO面積+BEO面積AOB面積+AOB面積7214(平方厘米)?！敬鸢浮?4平方厘米。38、【補充1】正方形邊長為8，A、C兩點的水平距離為2，B、D兩點的垂直距離為1，求陰影面積。【難度級別】【解題思路】老師補充的這道題目比較好，收錄在這里，與大家分享。此題用到一半模型、弦圖。其實大家不知道弦圖也沒有關系，看到這種在正方形（或者長方形）內(nèi)形成的不規(guī)則四邊形，就要想到從每個點向正方形內(nèi)部做水平線或者豎直線，4條線必然相交出來一個長方形，這個就是所謂的弦圖。大正方形面積8864，中間形成的小長方形的面積是122。從圖的劃分可以看出，大正方形被劃分成了5個長方形(角上的4個和中間的1個)。4個角上的長方形，根據(jù)一半模型，陰影部分和空白部分面積相等，這樣四邊形ABCD面積就比陰影部分多了中間的長方形的面積2，(64-2)231就是陰影的面積。計算時，更通用的方法是用和差?？瞻?陰影64，空白陰影2，根據(jù)和差公式就求出來了。將題目變一下，B點的位置在垂直方向上比D低，如圖。根據(jù)4個角上的長方形的對角線看一半模型知道，4個長方形面積之和比大正方形多了中間的小長方形的2，也就是空白面積比陰影少2。陰影+空白64，陰影空白2，根據(jù)和差公式，陰影(64+2)233。【答案】31。39、【例8】如圖所示，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC為一邊向ABC外作正方形ACDE，中心為O，求OBC的面積?！倦y度級別】【解題思路】這題難度較大，不知道孩子是否聽明白了，旋轉(zhuǎn)之后有三個步驟。將OAB以O為原點逆時針旋轉(zhuǎn)90度，變成OCB，OA與OC重合。(1)證明B、C、B三點共線四邊形ABCO內(nèi)角和為360，ABC90,AOC90,所以，BCO +OCB(360-90-90-OAB)+ OCB(180-OAB)+ OAB180因此，B、C、B三點共線。(2)證明BOB是等腰直角三角形BOBBOC+COBBOC+AOBAOC90所以，BOB是直角。又OBOB，BOB是等腰直角三角形。(3)計算BOB的面積、OBC的面積CBAB3，BB5+38。在等腰直角BOB中，知道斜邊BB的長度是可以求出面積的。是這樣來求的：等腰直角三角形斜邊上的中線，因為等腰的緣故也是斜邊上的高，此高長度是斜邊的一半，本題就是4。所以，BOB的面積84216。再根據(jù)斜邊上BC、CB的比例是5：3，知道兩部分的面積比也是5：3，所以OBC（陰影部分）的面積占總體的，OBC面積16=10?！敬鸢浮?0。3A、【補充2】四邊形ABCD的面積為40，E、F分別為對角線BD、AC的中點，延長BA、CD相交于G，求GEF的面積?！倦y度級別】超【解題思路】本題是張桓老師在第4節(jié)課上補充的，題目是由韓濤老師從俄羅斯帶回來的競賽題。此題采用一般模型，是一半模型中難度級別較高的題目。除了一半模型，還可以用到“重疊=未覆蓋”、“等積變形”等。如果兩部分相加等于整體，兩部分有重疊，則重疊部分的面積等于整體中未覆蓋部分的面積，簡稱：重疊=未覆蓋。連接BF、CE、AE、DF這4條輔助線，BF與CE交于O。線多就容易犯暈。第一種解法：利用“一半模型”、“陰影=整體-空白”。假設大GBC面積的面積為S。GEF面積=GBC面積-(GBE面積+CBE面積)-(CEF面積+CGF面積)=S-(GBD面積2+CBD面積2)-(CEA面積2+CGA面積2)=S-(GBC面積2)-(四邊形GAEC面積2)=S-(S2)-GBC面積-(ABE面積+CBE面積)2=S2-S-(ABD面積2+CBD面積2)2=S2-S-(四邊形ABCD面積2)2=S2-S-(402)2=10。這是為了書寫方便，實際上做的過程中：先算：GBE面積+CBE面積=S2再算：CEF面積+CGF面積=四邊形GAEC面積2ABE面積+CBE面積=402=20，四邊形GAEC面積=S-20，所以：CEF面積+CGF面積=(S-20)2=S2-10最后，根據(jù)“陰影=整體-空白”有：GEF面積=S-=S-S2-(S2-10)=10。第二種解法：利用“一半模型”、“重疊=未覆蓋”。(1)從大GBC來看GBE面積=GBD面積的一半，CBE面積=CBD面積的一半，所以：GBE面積+CBE面積=(GBD面積+CBD面積)的一半，即：四邊形GBCE面積=GBC面積的一半。同理，四邊形GCBF面積=GBC面積的一半。這樣得到，四邊形GBCE面積+四邊形GCBF面積=GBC面積，但是四邊形GBCE與四邊形GCBF重疊了BOC，GBC未被2個四邊形覆蓋的是四邊形GEOF，根據(jù)“重疊=未覆蓋”原理，BOC面積=四邊形GEOF面積。(2)從四邊形ABCD來看ABE面積=ABD面積的一半，CBE面積=CBD面積的一半，所以：ABE面積+CBE面積=(ABD面積+CBD面積)的一半，即：四邊形ABCE面積=四邊形ABCD面積的一半。同理，四邊形DCBF面積=GBC面積的一半。這樣得到，四邊形ABCE面積+四邊形DCBF面積=四邊形ABCD面積，但是四邊形ABCE與四邊形DCBF重疊了BOC，四邊形ABCD未被2個四邊形覆蓋的是五邊形AEOFD，根據(jù)“重疊=未覆蓋”原理，BOC面積=五邊形AEOFD面積。(3)推導GEF面積根據(jù)上面的2個結論，可以得到：四邊形GEOF面積=五邊形AEOFD面積（因為他們都=BOC面積）。又因為：四邊形GEOF面積=GEF面積+EOF面積，五邊形AEOFD面積=四邊形AEFD面積+EOF面積，所以得到：GEF面積=四邊形AEFD面積。到這里，題目所求的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為求四邊形AEFD面積，而這個面積是可求的。(4)計算四邊形AEFD面積四邊形AEFD面積=AED面積+FED面積=ABD面積2+FBD面積2=四邊形ABFD面積2=(ABF面積+DAF面積)2=（ABC面積2+DAC面積2）2=（ABC面積+DAC面積）4=四邊形ABCD面積4=404=10。因此，GEF面積=10。第三種解法：利用“一半模型”、“等積變形”。第二種解法的前3步，可以用下面的等積變形的方法代替。取AD中點H，連接HG、HE、HF。因為是中點的緣故，HEGB，HFGC。根據(jù)等積變形，GEH面積=GEH面積，GFH面積=DFH面積，所以GEF面積=四邊形AEFD面積。四邊形AEFD面積的計算如上一個方法的(4)?！敬鸢浮?0。3B、【補充3】六邊形ABCDEF，3組相對邊分別平行且相等，ACE與BDF線段相交圍成一個小六邊形，這個小六邊形的面積是10，求邊上的6個三角形的陰影部分的面積?！倦y度級別】【解題思路】此題也是采用一半模型、重疊=未覆蓋。先看一個三角形，ACE，過A、C、E分別做六邊形邊的平行線，如圖?？梢钥闯?，六邊形分成了3個平行四邊形，ACE分成了3個小，這3個小是所在平行四邊形的一半，所以ACE的面積是六邊形ABCDEF面積的一半。同理，可以證明BDF的面積也是六邊形ABCDEF面積的一半。這樣，ACE面積+BDF面積=六邊形ABCDEF面積。根據(jù)“重疊=未覆蓋”原理知道，所求陰影就是“未覆蓋”，“未覆蓋”的面積=“重疊”面積=10。【答案】10。第四講 組合孩子剛剛接觸組合，需要有個理解、消化的過程。不過個別題目還是很有難度的，不僅對孩子而言，對大人來說也一樣，有些題目不容易做出來。有3個公式需要記?。篊= C，C+C+C+C=2n，C+C=C。40、【補充1】一個圓桌周圍有8把椅子，編號從18，有8個人，編號也從18，和自己編號相同的椅子稱為自己的位置，目前沒有一個人坐在自己的位置上。證明轉(zhuǎn)若干次，至少有2人坐在自己的位置上?！倦y度級別】【解題思路】一看有“至少”字樣，就會想到此題屬于抽屜原理，此題不屬于本講知識點的內(nèi)容。因目前沒有人坐在自己的位置上，所以每個人與自己位置的編號差都不等于0，而18這8個數(shù)字，除了0以外差只有7個：1、2、3、4、5、6、7。因有8個人，根據(jù)抽屜原理，至少有2人這個“差”相同，假設這個差是x，則轉(zhuǎn)x次，差為x的人都會坐到自己的位置上去，至少有2人。【答案】證明過程見上。41、【補充2】某電子表在6時20分25秒時，顯示6:20:25，那么從5時到6時這1個小時里，此表顯示的5個數(shù)字都不相同的情況共有_種。【難度級別】【解題思路】本題是2012年學而思杯的數(shù)學樣題第10題。5:00:006:00:00，“分”和“秒”的十位可以?。?、1、2、3、4這5個數(shù)字(取完還要排列)，“分”和“秒”的個位可以?。?9除了5以外的9個數(shù)字，因十位使用了2個，所以個位只有7個可選擇(取完還要排列)，于是：AA=2042840?！敬鸢浮?40。42、【補充3】在120這二十個數(shù)中，任取十個數(shù)相加的和與其余十個數(shù)相加的和相乘，能得到_個不同的乘積?！倦y度級別】【解題思路】本題是2012年學而思杯的數(shù)學樣題第16題。120的和等于210。但是，10個數(shù)和，最小是110的和55，最大是1120的和155。也就是說，10個數(shù)的和介于55155之間，和有101個。10個數(shù)和555657104105另10數(shù)和155154153106105乘積8525862487211102411025共可以分成51組，乘積有51個。但是怎么知道，這些乘積中沒有重復的呢？！設取的10個數(shù)的和為x，則余下10個數(shù)的和為210-x，55=x=155，題目就轉(zhuǎn)變成：求解x(210-x)有多少個不同的結果？從x和210-x想到“和不變、相等乘積最大”。因為x+(210-x)=210，和不變，可知道x(210-x)有最大值，x=210-x，x=105，即：x=105時x(210-x)乘積最大，最大值是多少不必求出來。從x=55到x=105，210-x都大于等于x，x的這51取值，有51個不同的乘積。但x取106210時與前面對稱是重復的。事實上，x=105是一元二次函數(shù)f(x)=x(210-x)=-x2+210x=-(x-105)2+1052的拐點和對稱點，f(x)是個拋物線，在拋物線的一側(cè)f(x)的值沒有重復的。因此，答案是51。分析到這里，可以看出我的以上解法沒有用到排列組合，而用到的是“和不變乘積最大”的最值問題的求解方法。這僅是本人自己的求解方法，不知道是否有其他方法？（此題貌似與排列組合有關，所以放到了這里）【答案】51。43、【例5】有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外2名英語、日語都精通。從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單可以開出多少張？【難度級別】【解題思路】這類有“多面手”的題目，從“多面手”入手是解題的關鍵，每一個分類計算中需要認真仔細，否則容易遺漏。2名“多面手”分3類：選0名，選1名，選2名。選0名“多面手”：CC=5。選1名“多面手”：從2名“多面手”選1名C，這名“多面手”可能英文也可能日文，CC或CC，共：C(CC+CC)=60。選2名“多面手”：2名“多面手”可能2英、2日、1英1日，2英：CC，2日：CC，1英1日：ACC(此處容易忘記誰翻譯英誰翻譯日需要進行排列的)，共：CC+CC+ACC=120。合計：5+60+120=185?！敬鸢浮?20。44、【例6】從125這25個自然數(shù)中，每次取出2個不同的數(shù)，是它們的和是4的倍數(shù)，共有_種不同的取法?！倦y度級別】【解題思路】由4的倍數(shù)要想到整除，想到除以4以后的余數(shù)。此題的難點就在于按照余幾分成幾類，搞清楚余幾的數(shù)量，再取數(shù)。254=61，周期為4，有6個完整的周期，多的1是周期里的第1個，即：25，除以4余1。除以4，余數(shù)為1的有7個、余數(shù)為2的有6個、余數(shù)為3的有6個、余數(shù)為0的有6個（余數(shù)為0即整除）。一個數(shù)從“余數(shù)為1”中取，另一個數(shù)就要從“余數(shù)為3”中取，CC。一個數(shù)從“余數(shù)為2”中取，另一個數(shù)也要從“余數(shù)為2”中取，C。一個數(shù)從“余數(shù)為0”中取，另一個數(shù)也要從“余數(shù)為0”中取，C。總計，CC+C+C=72?！敬鸢浮?2。45、【例7】把10個相同的球放入3個不同的盒子里，若要求(1)每個盒子里至少有一個球，有多少種放法？(2)某些盒子里允許空著，有多少種放法？(3)每個盒子里至少有2個球，有多少種放法？【難度級別】【解題思路】此題利用插空法。不容易想到用插空法。(1)因每個盒子理至少有一個，考慮10個球9個空（不算兩側(cè)邊上的），從9個“空”任意選2個，可以將球分成3部分，C=36，即為所求。(2)先借3個，就有13個球，變成“每個盒子里至少放一個球”，13個球12個空，C=66。還有一種解法：因盒子可以空著，所以10個球有11個空（算兩側(cè)邊上的）。11個“空”有2種選法：任意選2個（相當于2個板不在一起、中間不空），任意選1個（相當于2個板在一起、中間空）。C+C=66。(3)先拿3個球，放到每個盒子里一個，剩余7個球，變成“每個盒子里至少放一個球”，7個球6個空，C=15?！敬鸢浮?1)36，(2)66，(3)15。46、【例8】某種獎券的號碼有9位，如果獎券至少有2個非零數(shù)字并且從左邊第一個非零數(shù)字起，每個數(shù)字小于它右邊的數(shù)字，就稱這樣的號碼為“中獎號碼”，如000000015，000001257。“中獎號碼”有多少個？【難度級別】【解題思路】右邊的數(shù)字比左邊的大，所以0排在左邊、非零數(shù)字左起從小到大排列。除了0以外的數(shù)字，任意n個數(shù)字只有一種排列是“中獎號碼”。轉(zhuǎn)化為從9個非零數(shù)字中取數(shù)字的問題，可以取2個、3個、9個。C+C+C+C=29-C-C=502。【答案】502。47、【學案2】正五邊形的邊和對角線構成多少個三角形（包括延長線相交所成的三角形）。【難度級別】【解題思路】此題不能從“點”出發(fā)，需要從“線”出發(fā)，排除法。正五邊形有5條邊和5條對角線。10條邊選3條，C，但是這里包含了不能構成三角形的情況。有兩種情況不能構成三角形：三線共頂點、平行線。三線共頂點：每個頂點有C種，5個頂點有C5。平行線：有5組平行線，每組平行線有8條線段可選擇（10-2=8），C5。C-C5-C5=120-20-40=60。【答案】60。48、【學案3】在擲硬幣時，如果用Z表示正面朝上，用F表示方面朝上，那么擲硬幣的序列就表示為由Z和F組成的數(shù)列。我們可以統(tǒng)計這種序列中正面緊跟著方面（FZ）的出現(xiàn)次數(shù)，正面緊跟著正面（ZZ）的出現(xiàn)次數(shù)，。例如序列ZZFFZZZZFZZFFFF是擲15次硬幣的結果，其中有5個ZZ、3個ZF、2個FZ、4個FF。在擲15次硬幣的序列中恰有2個ZZ、3個ZF、4個FZ、5個FF的序列共有多少個？【難度級別】【解題思路】這道題太難，孩子未必能明白，大人也要研究很久才能弄明白。第一種解法：分如下4步：(1)分析頭和尾因為一共出現(xiàn)了2個ZZ、3個ZF、4個FZ、5個FF，那么Z計算了2*2+3+4=11次，F(xiàn)計算了3+4+5*2=17次。又因為每個序列中，最左邊和最右邊字母都只計算一次，中間都計算兩次，而Z和F都是被計算了奇數(shù)次，可以推算出F和Z在頭尾各出現(xiàn)了一次。因為有3個ZF和4個FZ，可知序列中左邊第一個必為F，右邊最后一個為Z。(2)計算F、Z的數(shù)量當F在頭尾出現(xiàn)了1次時，中間必定出現(xiàn)了(17-1)/2=8次，那么共有9個F。同樣可知Z在中間出現(xiàn)了(11-1)/2=5次，共有6個Z。正好9+6=15。(3)分成幾堆當有N個Z分成M堆時，ZZ的數(shù)量為N-M個，這個結論是可以證明的。題意為6個ZZ，6-2=4，可知Z被分成4堆。同理，F(xiàn)堆數(shù)被分為9-5=4堆。(4)計算最后的結果根據(jù)以上分析，最終序列形如：(F)_(F)_(F)_(F)_，()里放F，F(xiàn)有4堆，_上放Z，Z有4堆。9個F分成4堆，每堆不能空，利用插板法，8個空，選3個，C。這個C有2層含義，第一是把F分成了4堆，第二是找到了3個空用來放Z。又因最左側(cè)是F最右側(cè)是Z，所以F的右側(cè)多一個空放Z，共有4個空放Z，需將Z分成4堆，上面也證明了Z本身就需要分成4堆。6個Z分成4堆，每堆不能空，5個空，選3個，C。這4堆正好放入F留出來的4個空中。CC5610560。第二種解法：使用插板法。從4個FZ入手。有4個FZ，_FZ_FZ_FZ_FZ_。在所有的5個空中不能有FZ，但可以放Z(1個或多個)和F(1個或多個)，如果一個空中既放Z也放F，則需要Z放左邊F放右邊，這3個空肯定可以形成3個ZF，題目要求的正好是3個ZF，故空不能放Z、空不能放F。4個FZ、3個ZF已經(jīng)放好，再考慮2個ZZ和5個FF。在中放Z可以形成ZZ，需要形成2個ZZ，在這4個空中放入2個Z即可，目前有4個Z，加上再放入的2個Z，共有6個Z，15-6=9，說明有9個F。2個Z放入4個空，可空，相當于“2個相同的球放入4個不同的盒子，盒子可空”，使用插板法，借4個，有6個球，5個空3個插板，C。在中放F可以形成FF，需要形成5個FF，在這4個空中放入5個F即可，已有4個F，加上再放入的5個F，正好是9個F。5個F放入4個空，可空，相當于“5個相同的球放入4個不同的盒子，盒子可空”，使用插板法，借4個，有9個球，8個空3個插板，C。CC5610560?！敬鸢浮?60種。49、【學案4】如果一個大于9的整數(shù)，其每個數(shù)位上的數(shù)字都比它右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱它為“迎春數(shù)”。那么，小于2008的“迎春數(shù)”共有_個?！倦y度級別】【解題思路】與例8雷同。非零數(shù)字取2個、3個、4個（只取到2008），4個的千位只能取1，另外3位從29中取3個。C+C+C=36+84+56=176?！敬鸢浮?76。4A、【作業(yè)1】某旅行社有導游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4人既會英語又會日語?，F(xiàn)要從中選6人，其中3人做英語導游，另外3人做日語導游，則不同的選擇方法有多少種？【難度級別】【解題思路】這題和例5一樣，是“多面手”的題目，但是從“多面手”出發(fā)去做，情況有點多，學而思給的答案較好。此題若從“多面手”出發(fā)來做，不太簡便，由于只會日語的人較少，所以針對只會日語的人討論，分三類：（）只會日語的人都出場則還需個多面手做日語導游，有種選擇從剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導游，有種選擇由乘法原理，有種選擇（）只會日語的人中有人出場有種選擇還需從多面手中選人做日語導游，有種選擇剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導游，有種選擇由乘法原理，有種選擇（）只會日語的人不出場需從多面手中選人做日語導游，有種選擇剩下的只會英語的人和多面手共人中選人做英語導游，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，不同的選擇方法一共有種【答案】216種。4B、【作業(yè)4】在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？【難度級別】【解題思路】孩子可能用枚舉法去做，從千位是1、2、3、4入手，去掉千位后，后三位的和分別變成3、2、1、0，變成數(shù)的拆分，數(shù)不多，枚舉確實是可以做出來的。但是，如果把和為4改成和為10，枚舉就不靈了。本題考察的是組合思想，可以使用組合的方法去做。孩子們認真學習一下例7，融會貫通，這道題目是例7的變形，使用插板法求解很簡單。和為4可以看成4個球，放到4個盒子里，插3個板，因第1個盒子不能空，第2、3、4個盒子可以空，借3個球?qū)栴}轉(zhuǎn)變成：7個球，放到4個盒子里，每個盒子里至少放1個球。7個球6個空，插3個板，C=20。如果題目的和改成10，借3個，變成13個球，12個空，C=220。需要減掉一個，C-1=219。【答案】20。4C、【作業(yè)5】光明小學甲、乙、丙三個班組織了一次文藝晚會，共演出十四個節(jié)目。如果每個班至少演出三個節(jié)目，那么，這三個班演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？【難度級別】【解題思路】孩子們認真學習一下例7，融會貫通，這道題目是例7的變形，使用插板法求解很簡單。每個班至少3個，先拿6個節(jié)目，安排每個班2個，剩8個節(jié)目進行分配，轉(zhuǎn)變成每個班至少1個。8個節(jié)目，7個空，插2個板，C=21?！敬鸢浮?1。4D、【作業(yè)6】要將n+1個不同的小球放入n個不同的盒子，有多少種不同的放法不出現(xiàn)空盒子？【難度級別】【解題思路】看到學而思給的3種答案，第2種捆綁法比較簡單。解法一：從盒子的角度分析由于不出現(xiàn)空盒，所以應當有一個盒子放兩個球，其余各盒都應放入一個球，從這個盒子中選出一個放兩個球，有種不同的選法；從這個球中選出兩個球放入此盒，有種選法；其余個球分別放入其余個盒子，有種不同放法，因此，由乘法原理有（種）。解法二：從球的角度分析有兩個球放入同一個盒子，從個球中選出兩個球，有種不同選法；將這兩個球視為一個整體，再與其余個球一道分別放入這個盒子，共有種不同的放法，所以一共有（種）。解法三：擋板法選將個球排成一排，共有種排法；再在它們之間插入隔板，以表示將它們放入不同的盒子由于不出現(xiàn)空盒，因此將塊隔板分別插在它們兩兩之間的個隔中的個間隔中，故有種不同的插法，又因放入同一盒子的兩個球無順序之分，因此，一共有（種）?！敬鸢浮縩(n+1)!4E、【作業(yè)7】某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有_種?！倦y度級別】【解題思路】甲和丙捆綁，再分甲去、甲不去兩種情況討論。甲